UVa 1393 (容斥原理、GCD) Highways

题意：

给出一个n行m列的点阵，求共有多少条非水平非竖直线至少经过其中两点。

分析：

首先说紫书上的思路，编程较简单且容易理解。由于对称性，所以只统计“”这种线型的，最后乘2即是答案。

枚举斜线包围盒的大小，如果盒子的长宽ab互质，则是可以的。这种盒子共有(m-a)(n-b)个，但要减去其中重复的。如果有一个长宽为2a和2b的大盒子，则计数右下角的小盒子的同时，左上角的小盒子会重复，所以要减去重复的盒子的个数c = max(0, m-2a) * max(0, n-2b)

最后gcd(a, b)的值是要预处理的

#include <cstdio>
#include <algorithm>

const int maxn = 300;
int gcd[maxn+10][maxn+10];

int GCD(int a, int b)
{
    return b == 0 ? a : GCD(b, a%b);
}

int main()
{
    for(int i = 1; i <= maxn; ++i)
        for(int j = 1; j <= i; ++j)
            gcd[i][j] = gcd[j][i] = GCD(i, j);

    int n, m;
    while(scanf("%d%d", &n, &m) == 2 && n)
    {
        int ans = 0;
        for(int a = 1; a <= n; ++a)
            for(int b = 1; b <= m; ++b)
                if(gcd[a][b] == 1)
                {
                    int c = std::max(0, n-a*2) * std::max(0, m-b*2);
                    ans += (n-a)*(m-b) - c;
                }

        printf("%d
", ans * 2);
    }

    return 0;
}

解法二：

解法转自UVA 1393 - Highways (容斥原理计数)

dp(i, j)表示在长宽为ij的盒子中，从左上角最多能连多少条不重复的直线。

可以根据容斥原理递推dp(i, j) = dp(i-1, j) + dp(i, j-1) - dp(i-1, j-1) + (gcd(i, j) = 1) (因为盒子两边长互质的时候，才能连出一条新边出来)

最后答案ans递推的形式也是一样的，但重复的连线是那些缩小两倍后仍存在的直线

ans(i, j) = ans(i-1, j) + ans(i, j-1) - ans(i-1, j-1) + dp(i, j) - dp(i/2, j/2)

最后代码中，本想着只计算一半答案会快一点，结果排名21，登榜失败。

#include <cstdio>
#include <algorithm>

const int maxn = 300;
int dp[maxn+1][maxn+1], ans[maxn+1][maxn+1];

int gcd(int a, int b)
{
    return b == 0 ? a : gcd(b, a%b);
}

void Init()
{
    for(int i = 1; i <= maxn; ++i)
        for(int j = 1; j <= i; ++j)
        {
            if(i == j) dp[i][j] = dp[i][j-1] * 2 - dp[i-1][j-1] + (gcd(i, j) == 1);
            else dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1] - dp[i-1][j-1] + (gcd(i, j) == 1);
        }

    for(int i = 1; i <= maxn; ++i)
        for(int j = 1; j <= i; ++j)
        {
            if(i == j) ans[i][j] = ans[i][j-1] * 2 - ans[i-1][j-1] + dp[i][j] - dp[i/2][j/2];
            else ans[i][j] = ans[i][j-1] + ans[i-1][j] - ans[i-1][j-1] + dp[i][j] - dp[i/2][j/2];
        }
}

int main()
{
    Init();
    int n, m;
    while(scanf("%d%d", &n, &m) == 2 && n)
    {
        if(n < m) std::swap(n, m);
        printf("%d
", ans[n-1][m-1]*2);
    }

    return 0;
}