HDU 5378 树上的概率DP Leader in Tree Land

官方题解：

可以用求概率的思想来解决这个问题。令以i号节点为根的子树为第i棵子树，设这颗子树恰好有sz[i]个点。那么第i个点是第i棵子树最大值的概率为1/sz[i]，不是最大值的概率为(sz[i]-1)/sz[i]。现在可以求解恰好有k个最大值的概率。

令dp[i][j]表示考虑编号从1到i的点，其中恰好有j个点是其子树最大值的概率。 很容易得到如下转移方程：dp[i][j]=dp[i-1][j]*(sz[i]-1)/sz[i]+dp[i-1][j-1]/sz[i]。这样dp[n][k]就是所有点中恰好有k个最大值的概率。

题目要求的是方案数，用总数n！乘上概率就是答案。计算的时候用逆元代替上面的分数即可

另外我补充一下边界情况：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;

typedef long long LL;

const int maxn = 1000 + 10;
const LL MOD = 1000000007;

LL fac[maxn], invfac[maxn], inv[maxn];

inline LL mul_mod(LL a, LL b) { return (a * b) % MOD; }

LL pow_mod(LL a, LL n)
{
    LL ans = 1, base = a;
    while(n)
    {
        if(n & 1) ans = mul_mod(ans, base);
        base = mul_mod(base, base);
        n >>= 1;
    }
    return ans;
}

LL inverse(LL a) { return pow_mod(a, MOD - 2); }

void preprocess()
{
    fac[0] = 1;
    for(int i = 1; i < maxn; i++) { inv[i] = inverse(i); fac[i] = (fac[i - 1] * i) % MOD; }
    invfac[maxn - 1] = inverse(fac[maxn - 1]);
    for(int i = maxn - 2; i >= 0; i--) invfac[i] = mul_mod(invfac[i+1], (i+1));
}

vector<int> G[maxn];

int sz[maxn];

void dfs(int u, int fa)
{
    sz[u] = 1;
    for(int i = 0; i < G[u].size(); i++)
    {
        int v = G[u][i];
        if(v == fa) continue;
        dfs(v, u);
        sz[u] += sz[v];
    }
}

LL d[maxn][maxn];

int main()
{
    preprocess();

    int T; scanf("%d", &T);
    for(int kase = 1; kase <= T; kase++)
    {
        int n, k; scanf("%d%d", &n, &k);
        for(int i = 1; i <= n; i++) G[i].clear();
        for(int u, v, i = 1; i < n; i++)
        {
            scanf("%d%d", &u, &v);
            G[u].push_back(v); G[v].push_back(u);
        }

        dfs(1, 0);
        d[1][0] = mul_mod(sz[1] - 1, inv[sz[1]]);
        d[1][1] = inv[sz[1]];
        for(int i = 2; i <= n; i++)
        {
            d[i][0] = mul_mod(mul_mod(d[i-1][0], sz[i] - 1), inv[sz[i]]);
            for(int j = 1; j <= min(i, k); j++)
            {
                LL t1 = mul_mod(mul_mod(d[i-1][j], sz[i] - 1), inv[sz[i]]);
                LL t2 = mul_mod(d[i-1][j-1], inv[sz[i]]);
                d[i][j] = t1 + t2;
                if(d[i][j] >= MOD) d[i][j] -= MOD;
            }
        }

        LL ans = mul_mod(d[n][k], fac[n]);
        printf("Case #%d: %I64d
", kase, ans);
    }

    return 0;
}