绿豆蛙的归宿

两种方法，正推和逆推

逆推：(dp[i])表示从(i)到(n)的期望，方程的转移：对于一条从(x)到(y)边

(dp[x]=sumlimits_{i=1}^{oud[x]}(dp[y]+edge[i])/oud[x])

正推：(dp[i])表示从(1)到(i)的期望，(g[i])表示从(1)到(i)的概率，方程的转移：对于一条从(x)到(y)的边

(dp[y]=sumlimits_{i=1}^{ind[y]}(dp[x]+edge[i] imes g[x])/oud[x])

why?

逆推：

(E(y)=p_1x_1+p_2x_2+cdotscdots+p_nx_n)

(E(x)=p_1(x_1+w)+p_2(x_2+w)+cdotscdots+p_n(x_n+w)=E(y)+sumlimits_{i=1}^np_i imes w=E(y)+w)

因为从(i)到(n),所有概率和为(1)

正推：

(E(x)=p_1x_1+p_2x_2+cdotscdots+p_nx_n)

(E(y)=p_1(x_1+w)+p_2(x_2+w)+cdotscdots+p_n(x_n+w)=E(x)+sumlimits_{i=1}^np_i imes w eq E(x)+w)

因为从(1)到(i)，所有概率和i不为1

CODE（正推）:

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<queue>
using namespace std;
const int MAXX=100010;
int oud[MAXX],ind[MAXX],ver[MAXX<<1],nxt[MAXX<<1],head[MAXX],edge[MAXX<<1];
double dp[MAXX],g[MAXX];
int tot,n,m;
inline void add(int x,int y,int z){
	ver[++tot]=y;
	nxt[tot]=head[x];
	head[x]=tot;
	edge[tot]=z;
	oud[x]++;
	ind[y]++;
}
inline void topsort(){
	queue<int>q;
	for(int i=1;i<=n;++i)if(!ind[i])q.push(i);
	dp[1]=0.000;
    g[1]=1.000;
	while(q.size()){
		int x=q.front();
		q.pop();
		for(int i=head[x];i;i=nxt[i]){
			int y=ver[i];
            dp[y]+=(dp[x]+(double)edge[i]*g[x])/(double)oud[x];
            g[y]+=g[x]/(double)oud[x];
            if(--ind[y]==0)q.push(y);
		} 
	}
}
int main(){
   cin>>n>>m;
   for(int i=1;i<=m;++i){
   	int x,y,z;
   	scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
   	add(x,y,z);
   }
   topsort();
   printf("%.2lf",dp[n]);
   return 0;
}

CODE2（逆推 )为了方便更新我们建了反图，但是出度以原图为准

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<queue>
using namespace std;
const int MAXX=100010;
int head[MAXX],ver[MAXX<<1],nxt[MAXX<<1],edge[MAXX<<1],ind[MAXX],oud[MAXX];
int tot,n,m;
double dp[MAXX];
inline void add(int x,int y,int z){
	ver[++tot]=y;
	nxt[tot]=head[x];
	head[x]=tot;
	edge[tot]=z;
}
inline void topsort(){
	queue<int>q;
	dp[n]=0;
	for(int i=1;i<=n;++i)if(!ind[i])q.push(i);
	while(q.size()){
		int x=q.front();
		q.pop();
		for(int i=head[x];i;i=nxt[i]){
			int y=ver[i];
			dp[y]+=(dp[x]+(double)edge[i])/(double)oud[y];
			if(--ind[y]==0)q.push(y);
		}
	}
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=m;++i){
		int x,y,z;
		scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
		add(y,x,z);
		ind[x]++;
		oud[x]++;
	}
	topsort();
	printf("%0.2lf",dp[1]);
	return 0;
}