Luogu4451 [国家集训队]整数的lqp拆分

题目链接：洛谷

题目大意：求对于所有$n$的拆分$a_i$，使得$sum_{i=1}^ma_i=n$，$prod_{i=1}^mf_{a_i}$之和。其中$f_i$为斐波那契数列的第$i$项。

数据范围：$nleq 10^6$

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首先不要被这个【国家集训队】给吓到了，其实很简单的。

首先考虑打表，。。。。（逃

显然一眼就能想到卷积，设$F(x)$为$f$的生成函数。则

$$F(x)=frac{x}{1-x-x^2}$$

$$Ans=sum_{i=0}^nF^i(x)[x^n]$$

$$=frac{1}{1-frac{x}{1-x-x^2}}[x^n]$$

$$=frac{x}{1-2*x-x^2}[x^n]$$

根据直觉，这个多项式也是一个常系数齐次线性递推数列的生成函数，设为$G(x)$则

$$G(x)=2xG(x)+x^2G(x)+x$$

所以$g_{n+1}=2*g_n+g_{n-1}$

然后连矩阵乘法都不用就直接A了。

#include<cstdio>
#define Rint register int
using namespace std;
const int mod = 1e9 + 7;
int n, f1, f2, f3;
int main(){
    scanf("%d", &n);
    f1 = 0; f2 = 1;
    if(n == 1){puts("1"); return 0;}
    for(Rint i = 2;i <= n;i ++){
        f3 = (2ll * f2 + f1) % mod;
        f1 = f2; f2 = f3;
    }
    printf("%d", f3);
}