CF917D Stranger Trees【矩阵树定理，高斯消元】

题目链接：洛谷

题目大意：给定一个$n$个节点的树$T$，令$ans_k=sum_{T'}[|Tcap T'|=k]$，即有$k$条边重合。输出$ans_0,ans_1,ldots,ans_{n-1}$.

数据范围：$1leq nleq 100$

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这题的思路挺巧妙的，非常不错。

我们将$T$上的边的边权作为$x$，不在$T$上的边的边权设为$1$（一个完全图），然后用矩阵树定理算出所有生成树的边权之积之和，也就是$x^k$的系数就是$ans_k$，现在我们要求这个多项式。

但是运算一个多项式的行列式复杂度会高到爆炸，所以我们考虑插值，只需要$n$个点值就可以，这里我们取$x=1,2,ldots n$，然后用高斯消元算出这个多项式的系数就可以。（具体实现看代码）

时间复杂度$O(n^4)$。

#include<bits/stdc++.h>
#define Rint register int
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 103, mod = 1e9 + 7;
int n, a[N][N], b[N][N];
bool tree[N][N];
inline int kasumi(int a, int b){
    int res = 1;
    while(b){
        if(b & 1) res = (LL) res * a % mod;
        a = (LL) a * a % mod;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}
inline int Gauss(){
    int res = 1;
    for(Rint i = 1;i < n;i ++){
        for(Rint j = i + 1;j < n;j ++)
            while(a[j][i]){
                int d = a[i][i] / a[j][i];
                for(Rint k = i;k < n;k ++)
                    a[i][k] = (a[i][k] - (LL) d * a[j][k] + mod) % mod;
                swap(a[i], a[j]);
                res = mod - res;
            }
        res = (LL) res * a[i][i] % mod;
        if(!a[i][i]) return 0;
    }
    return res;
}
int main(){
    scanf("%d", &n);
    for(Rint i = 1;i < n;i ++){
        int a, b;
        scanf("%d%d", &a, &b);
        tree[a][b] = tree[b][a] = true;
    }
    for(Rint k = 1;k <= n;k ++){
        for(Rint i = 1;i <= n;i ++){
            a[i][i] = 0;
            for(Rint j = 1;j <= n;j ++){
                if(i != j){
                    if(tree[i][j]){
                        a[i][j] = mod - k;
                        a[i][i] = (a[i][i] + k) % mod;
                    } else {
                        a[i][j] = mod - 1;
                        a[i][i] = (a[i][i] + 1) % mod;
                    }
                }
            }
        }
        b[k][1] = 1;
        for(Rint i = 2;i <= n;i ++) b[k][i] = (LL) b[k][i - 1] * k % mod;
        b[k][n + 1] = Gauss();
    }
    for(Rint i = 1;i <= n;i ++){
        int inv = kasumi(b[i][i], mod - 2);
        for(Rint j = i + 1;j <= n + 1;j ++)
            b[i][j] = (LL) b[i][j] * inv % mod;
        for(Rint j = 1;j <= n;j ++)
            if(i != j)
                for(Rint k = i + 1;k <= n + 1;k ++)
                    b[j][k] = (b[j][k] - (LL) b[j][i] * b[i][k] % mod + mod) % mod;
    }
    for(Rint i = 1;i <= n;i ++) printf("%d ", b[i][n + 1]);
}