CF1153F Serval and Bonus Problem 【期望】

题目链接：洛谷

作为一只沉迷数学多年的蒟蒻OIer，在推柿子和dp之间肯定要选推柿子的！

首先假设线段长度为1，最后答案乘上$l$即可。

对于$x$这个位置，被区间覆盖的概率是$2x(1-x)$（线段端点分别在$x$的两边），不被区间覆盖的概率为$1-2x(1-x)$。

$$Ans=sum_{i=k}^n {nchoose i}int_{0}^1(2x(1-x))^i(1-2x(1-x))^{n-i}dx$$

$$=sum_{i=k}^n {nchoose i}int_{0}^1(2x(1-x))^isum_{j=0}^{n-i}(-1)^j{n-ichoose j}(2x(1-x))^jdx$$

$$=sum_{i=k}^n{nchoose i}sum_{j=0}^{n-i}(-1)^j2^{i+j}{n-ichoose j}int_0^1x^{i+j}(1-x)^{i+j}dx$$

$$F_i=int_0^1x^i(1-x)^idx$$

$$=int_0^1x^isum_{j=0}^i(-1)^j{ichoose j}x^jdx$$

$$=sum_{j=0}^i(-1)^j{ichoose j}int_0^1x^{i+j}dx$$

$$=sum_{j=0}^i(-1)^j{ichoose j}frac{1}{i+j+1}$$

预处理$F_i$之后计算，时间复杂度$O(n^2)$。

#include<bits/stdc++.h>
#define Rint register int
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 4003, mod = 998244353;
int fac[N], inv[N], invfac[N], po[N];
inline void init(int m){
    fac[0] = 1;
    for(Rint i = 1;i <= m;i ++) fac[i] = (LL) i * fac[i - 1] % mod;
    inv[1] = 1;
    for(Rint i = 2;i <= m;i ++) inv[i] = (LL) (mod - mod / i) * inv[mod % i] % mod;
    invfac[0] = 1;
    for(Rint i = 1;i <= m;i ++) invfac[i] = (LL) invfac[i - 1] * inv[i] % mod;
    po[0] = 1;
    for(Rint i = 1;i <= m;i ++) po[i] = (po[i - 1] << 1) % mod;
}
inline int C(int n, int m){
    if(n < m || m < 0) return 0;
    return (LL) fac[n] * invfac[n - m] % mod * invfac[m] % mod;
}
int n, k, l, ans, f[N];
int main(){
    scanf("%d%d%d", &n, &k, &l);
    init(n << 1 | 1);
    for(Rint i = k;i <= n;i ++)
        for(Rint j = 0;j <= i;j ++){
            int t = (LL) C(i, j) * inv[i + j + 1] % mod;
            if(j & 1) f[i] = (f[i] + mod - t) % mod; else f[i] = (f[i] + t) % mod;
        }
    for(Rint i = k;i <= n;i ++){
        int t1 = 0;
        for(Rint j = 0;j <= n - i;j ++){
            int t2 = (LL) po[i + j] * C(n - i, j) % mod * f[i + j] % mod;
            if(j & 1) t1 = (t1 + mod - t2) % mod; else t1 = (t1 + t2) % mod;
        }
        ans = (ans + (LL) t1 * C(n, i) % mod) % mod;
    }
    printf("%d", (LL) l * ans % mod);
}

据说这个式子还可以用NTT优化到$O(nlog n)$？有兴趣的各位可以思考一下反正我是没兴趣了

upd（2019-10-18）:

貌似有一个东西叫做Beta Function.

$$egin{aligned}Beta(x,y)&=int_0^1t^x(1-t)^ymathrm{d}t & (x,yin R_+)\ Gamma(z)&=int_0^{+infty}x^{z-1}e^{-x}mathrm{d}x & (Re(z)>0)end{aligned}$$

有一些不知道为什么的结论。

$$egin{aligned}Gamma(n)&=(n-1)! & (nin N_+) \ Beta(x,y)&=frac{Gamma(x)Gamma(y)}{Gamma(x+y)}end{aligned}$$

于是上面的$F_i$直接就做完了。稍微化化就可以用NTT来做了。