Luogu5540 最小乘积生成树
题目链接：洛谷
题目描述：对于一个(n)个点(m)条边的无向连通图，每条边有两个边权(a_i,b_i)，求使((sum a_i) imes (sum b_i))最小的生成树。
数据范围：(nle 200,mle 10000,a_i,b_ile 255)
这题是一道非常妙的计算几何题目。
我们对于每个生成树，用((sum a_i,sum b_i))这个二维平面上的点来表示它，那么就是求所有点中横坐标乘纵坐标的最小值。
画画图就可以发现，答案只有可能在下凸包上，为什么呢？
因为如果(C)在线段(AB)上方，其中(x_Ay_A=x_By_B)，因为反比例函数下凸，所以(x_Cy_C>x_Ay_A)。
但是生成树可能有很多个，怎么得到下凸包上的点呢？
Step1 求最靠近(x,y)轴的两个点(A,B)
为什么呢？因为(A,B)两个点必定在下凸包上面。令(w_i=a_i)或(b_i)用最小生成树求(A,B)。
Step2 求(C)在直线(AB)下方且(S_{Delta ABC})最大
为什么呢？因为(C)点必定在下凸包上面，否则它不是最大的点。我们发现
[egin{aligned}
-frac{1}{2}S_{Delta ABC}&=overrightarrow{AB} imes overrightarrow{AC} \
&=(x_B-x_A)(y_C-y_A)-(y_B-y_A)(x_C-x_A) \
&=((x_A-x_B)y_A-(y_A-y_B)x_A)+(x_B-x_A)y_C-(y_B-y_A)x_C
end{aligned}
]
令(w_i=(x_B-x_A)b_i-(y_B-y_A)a_i)就会得到(C)
Step3 将(A,C)和(C,B)代入Step2递归
这样就可以求出下凸包上所有的点。那什么时候终止递归呢？当然就是(C)不存在，或者说求出的(C)在(AB)上方。
时间复杂度为(O(kmlog m))，其中(k)为下凸包上点的个数，在随机数据下不会很大。
#include<bits/stdc++.h>
#define Rint register int
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 10003;
int n, m, a[N], b[N], fa[N];
struct Point {
int x, y;
inline Point(int _x = 0, int _y = 0): x(_x), y(_y){}
inline Point operator - (const Point &o) const {return (Point){x - o.x, y - o.y};}
} A, B, ans(1e9, 1e9);
inline LL cross(Point a, Point b){return (LL) a.x * b.y - (LL) b.x * a.y;}
struct Edge {
int u, v, w, id;
inline bool operator < (const Edge &o) const {return w < o.w;}
} e[N];
inline int getfa(int x){return x == fa[x] ? x : fa[x] = getfa(fa[x]);}
inline Point Kruskal(){
Point res; sort(e + 1, e + m + 1);
for(Rint i = 1;i <= n;i ++) fa[i] = i;
for(Rint i = 1, p = 1;i <= m && p < n;i ++){
int u = getfa(e[i].u), v = getfa(e[i].v);
if(u != v){fa[u] = v; ++ p; res.x += a[e[i].id]; res.y += b[e[i].id];}
}
LL Ans = (LL) ans.x * ans.y, Res = (LL) res.x * res.y;
if(Ans > Res || Ans == Res && ans.x > res.x) ans = res;
return res;
}
inline void solve(Point A, Point B){
for(Rint i = 1;i <= m;i ++) e[i].w = (A.y - B.y) * a[e[i].id] - (A.x - B.x) * b[e[i].id]; Point C = Kruskal();
if(cross(B - A, C - A) >= 0) return;
solve(A, C); solve(C, B);
}
int main(){
scanf("%d%d", &n, &m);
for(Rint i = 1;i <= m;i ++) scanf("%d%d%d%d", &e[i].u, &e[i].v, a + i, b + i), ++ e[i].u, ++ e[i].v, e[i].id = i;
for(Rint i = 1;i <= m;i ++) e[i].w = a[e[i].id]; Point A = Kruskal();
for(Rint i = 1;i <= m;i ++) e[i].w = b[e[i].id]; Point B = Kruskal();
solve(A, B); printf("%d %d", ans.x, ans.y);
}