LOJ2327 「清华集训 2017」福若格斯 【不平等博弈】

题目链接：LOJ

对于这道题，我们要分3步来做它。

1. 什么是 Surreal Number 及如何解决博弈问题。
2. 如何用 Surreal Number 解决这道题。
3. 推出结论之后如何计数

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首先看看这篇文章（如果真要看那本书的话会耗死你）

然后我们来总结总结。

首先，博弈局面可以对应到超现实数，它的左集是( ext{L})走一步的局面，右集是( ext{R})走一步的局面，用( ext{L})是否“赢得更爽”来判定大小，显然左集的数都小于它，它也小于右集的数（因为多走一步就是更接近无法行动）

那游戏的相反数是什么呢？显然就是将( ext{L})和( ext{R})玩家调换，然后就可以了。

还有游戏的和。我们知道游戏的和是两个游戏可以选一个走，那么

[x+y={(x_L+y)cup(x+y_L)|(x_R+y)cup(x+y_R)} ]

我们发现它满足普通(+)的一堆运算律。所以它就是超现实数的加法了。

至于乘法，这东西对博弈游戏没有用，不管了。

然后我们发现，正数表示( ext{L})必胜，负数表示(R)必胜，(0)表示后手必胜。现在已经推出了一个结论，于是你开始手玩这道题的23个局面。

但是你发现还有一种新东西叫做(*={0|0})，它是一个先手必胜的状态，并且还有两个东西叫做(uparrow={0|*})和(downarrow={*|0})。用这些东西推推可以得到一些结论。

1. (*,uparrow,downarrow)加上一个正数都是( ext{L})必胜，加上一个负数都是( ext{R})必胜。换句话说，非0数对这三个东西是绝对的（自己造了个词）
2. (*+*=0)，所以偶数个(*)会互相抵消。
3. (uparrow>0,downarrow<0,uparrow+downarrow=0)，所以(uparrow)和(downarrow)可以互相抵消。但是要注意(*={downarrow|uparrow})。
4. (*+uparrow+uparrow>0,*+downarrow+downarrow<0)，而(*+uparrow,*+downarrow)都是先手赢的局面。也就是说，(2uparrow>*>uparrow>0)，而(downarrow)同理（注意(*​)是没有符号的）

于是你根据这些东西，就可以讨论出以下的结论（以下将(downarrow)视作(-uparrow)）：

1. 若(*)个数为偶数

   1. 若(sum 数字>0or(sum 数字=0and sumuparrow>0))，则( ext{L})胜。

   2. 若(sum 数字=0and sumuparrow=0​)，则后手胜。

   3. 若(sum 数字<0or(sum 数字=0andsumuparrow<0))，则( ext{R})胜。

2. 若(*)个数为奇数

   1. 若(sum 数字>0and(sum 数字=0andsumuparrow>1))，则( ext{L})胜。
   2. 若(sum 数字=0and |sumuparrow|le 1)，则先手胜
   3. 若(sum 数字<0or (sum 数字=0andsumuparrow<-1))，则( ext{R})胜。

还有这个游戏的局面

然后你发现，它是求(2^m)种情况中四种情况的和。所以还要考虑如何计数。

首先( ext{num},*,uparrow)是相互独立的，所以你可以求出有多少种情况满足(sum ext{num})大于(0)，小于(0)和等于(0)，求出满足(sum uparrow)大于(1)，小于(-1)和([-1,1])的情况。

上面两个东西是同理的，所以只说前一个，设(a,b,c,d)表示(-1,-frac{1}{2},frac{1}{2},1)的数量，那么就是求

[(1+x^{-2})^a(1+x^{-1})^b(1+x)^c(1+x^2)^d=frac{(1+x)^{b+c}(1+x^2)^{a+d}}{x^{2a+b}} ]

的次数(>0)，(<0)，(=0)对应的系数。首先把((1+x)^{b+c})按照二项式定理展开，然后枚举((1+x^2)^{b+d})的每一项，你发现(>0)和(<0)对应的是((1+x)^{b+c})的两段。用前缀和搞搞就可以了。

最后合并就是用乘法原理搞搞就可以了。

具体可以看这个4KB多的代码。

#include<bits/stdc++.h>
#define Rint register int
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 2000003, mod = 998244353;
int Id, T, n, cnt[8], fac[N], inv[N], x[N];
inline void upd(int &a, int b){a += b; if(a >= mod) a -= mod;}
inline int sub(int a, int b){return (a < b) ? (a - b + mod) : (a - b);}
inline int add(int a, int b){return (a + b >= mod) ? (a + b - mod) : (a + b);}
inline int kasumi(int a, int b){
	int res = 1;
	while(b){
		if(b & 1) res = (LL) res * a % mod;
		a = (LL) a * a % mod; b >>= 1;
	}
	return res;
}
inline void init(int m){
	fac[0] = 1;
	for(Rint i = 1;i <= m;i ++) fac[i] = (LL) fac[i - 1] * i % mod;
	inv[m] = kasumi(fac[m], mod - 2);
	for(Rint i = m;i;i --) inv[i - 1] = (LL) inv[i] * i % mod;
}
inline int C(int n, int m){
	if(n < 0 || m < 0 || n < m) return 0;
	return (LL) fac[n] * inv[m] % mod * inv[n - m] % mod;
}
/*0-4 : -1~1,5:*, 6:up, 7:down */
int main(){
#ifdef NTFOrzs
	freopen("a.in", "r", stdin);
#endif
	scanf("%d%d", &Id, &T); init(2e6);
	while(T --){
		memset(cnt, 0, sizeof cnt);
		scanf("%d", &n);
		for(Rint i = 1;i <= n;i ++){
			char opt[10]; int x;
			scanf("%s%d", opt, &x);
			if (!strcmp(opt, "LL_RR")) cnt[5] += x;
			else if (!strcmp(opt, "L_LRR")) cnt[6] += x;
			else if (!strcmp(opt, "LLR_R")) cnt[7] += x;
			else if (!strcmp(opt, "LRL_R")) cnt[5] += x;
			else if (!strcmp(opt, "L_RLR")) cnt[5] += x;
			else if (!strcmp(opt, "_RLLR")) cnt[0] += x;
			else if (!strcmp(opt, "LRRL_")) cnt[4] += x;
			else if (!strcmp(opt, "LR_RL")) cnt[1] += x;
			else if (!strcmp(opt, "RL_LR")) cnt[3] += x;
			else if (!strcmp(opt, "_RLRL")) cnt[0] += x;
			else if (!strcmp(opt, "RLRL_")) cnt[4] += x;
			else if (!strcmp(opt, "RRL_L")) cnt[4] += x;
			else if (!strcmp(opt, "R_RLL")) cnt[0] += x;
			else cnt[2] += x;
		}
#ifdef NTFOrzs
		printf("cnt[0] = %d, cnt[1] = %d, cnt[2] = %d, cnt[3] = %d, cnt[4] = %d, cnt[5] = %d, cnt[6] = %d, cnt[7] = %d
", cnt[0], cnt[1], cnt[2], cnt[3], cnt[4], cnt[5], cnt[6], cnt[7]);
#endif
		for(Rint i = 0;i <= cnt[1] + cnt[3];i ++) x[i] = C(cnt[1] + cnt[3], i);
		for(Rint i = 1;i <= cnt[1] + cnt[3];i ++) upd(x[i], x[i - 1]);
		int res1 = 0, res2 = 0, res3 = 0;
		for(Rint i = 0;i <= cnt[0] + cnt[4];i ++){
			int tmp = C(cnt[0] + cnt[4], i), t2 = 2 * (cnt[0] - i) + cnt[1];
			upd(res2, (LL) tmp * C(cnt[1] + cnt[3], t2) % mod);
			if(t2 >= 1) upd(res1, (LL) tmp * x[min(t2 - 1, cnt[1] + cnt[3])] % mod);
			if(t2 >= 0 && t2 <= cnt[1] + cnt[3]) upd(res3, (LL) tmp * sub(x[cnt[1] + cnt[3]], x[t2]) % mod);
			else if(t2 < 0) upd(res3, (LL) tmp * x[cnt[1] + cnt[3]] % mod);
		}
#ifdef NTFOrzs
		printf("%d %d %d
", res1, res2, res3);
#endif
		int ans0 = 0, ans1 = 0, ans2 = 0, ans3 = 0, tmp1 = 0, tmp2 = 0, tmp3 = 0, tmp4 = 0, tmp5 = 0;
		for(Rint i = 0;i <= cnt[7];i ++) x[i] = C(cnt[7], i);
		for(Rint i = 1;i <= cnt[7];i ++) upd(x[i], x[i - 1]);
		for(Rint i = 0;i <= cnt[6];i ++){
			int tmp = C(cnt[6], i);
			upd(tmp3, (LL) tmp * C(cnt[7], i) % mod);
			upd(tmp2, (LL) tmp * C(cnt[7], i + 1) % mod);
			upd(tmp4, (LL) tmp * C(cnt[7], i - 1) % mod);
			if(i >= 2) upd(tmp5, (LL) tmp * x[min(i - 2, cnt[7])] % mod);
			if(i <= cnt[7] - 2) upd(tmp1, (LL) tmp * sub(x[cnt[7]], x[i + 1]) % mod);
		}
#ifdef NTFOrzs
		printf("%d %d %d %d %d
", tmp1, tmp2, tmp3, tmp4, tmp5);
#endif
		upd(ans0, add(tmp4, tmp5)); upd(ans1, add(tmp1, tmp2)); upd(ans3, tmp3);
		if(cnt[5] > 0){
			upd(ans0, tmp5); upd(ans1, tmp1); upd(ans2, add(tmp2, add(tmp3, tmp4)));
#ifdef NTFOrzs
			printf("%d %d %d %d
", ans0, ans1, ans2, ans3);
#endif
			int tmp = kasumi(2, cnt[5] - 1);
			ans0 = (LL) ans0 * tmp % mod;
			ans1 = (LL) ans1 * tmp % mod;
			ans2 = (LL) ans2 * tmp % mod;
			ans3 = (LL) ans3 * tmp % mod;
		}
		ans0 = (LL) ans0 * res2 % mod * kasumi(2, cnt[2]) % mod;
		ans1 = (LL) ans1 * res2 % mod * kasumi(2, cnt[2]) % mod;
		ans2 = (LL) ans2 * res2 % mod * kasumi(2, cnt[2]) % mod;
		ans3 = (LL) ans3 * res2 % mod * kasumi(2, cnt[2]) % mod;
		upd(ans0, (LL) res3 * kasumi(2, cnt[2] + cnt[5] + cnt[6] + cnt[7]) % mod);
		upd(ans1, (LL) res1 * kasumi(2, cnt[2] + cnt[5] + cnt[6] + cnt[7]) % mod);
		printf("%d %d %d %d
", ans0, ans1, ans2, ans3);
	}
}