咕了大半年了。
1 预备知识
给定正整数 (p)，一张点集为 (V={v_1,cdots,v_n})、边集为 (E)（(|E|=m)）的有向无环图 (G)，代价函数 ((y,w))（(forall i,w_i>0)）。
求实数序列 (f)，使得 (forall G) 中有 (v_i) 到 (v_j) 的有向路径，(f_ile f_j) 的情况下，最小化回归代价：
定义将序列 (z) 中 (<a) 的元素变为 (a)，(>b) 的元素变为 (b) 称为序列 (z) 向集合 (S={a,b}) 取整。
定义点集 (U) 的 (L_p) 均值为 (y_i=k) 的情况下使点集 (U) 的回归代价最小的 (k)。
2 特殊情形
考虑 (G) 是链，(p=2) 的情况。
引理 1 点集 (U) 的 (L_p) 均值是 (y_i) 关于 (w_i) 的加权平均数。
引理 2 若 (y_i>y_{i+1})，则 (f_i=f_{i+1})。
单调栈维护，因为太经典所以不写了。
考虑 (G) 是树，(p=1) 的情况。
线段树合并维护折线 dp，因为不会所以不写了。
3 一般情形
考虑新的 (S={a,b}) 问题：在满足原问题限制的情况下要求 (ale f_ile b)，最小化回归代价。
3.1 (p=1) 的情况
引理 3 在 (L_1) 问题中，若 (forall i,y_i otin(a,b))，(exist) 最优解序列 (z) 满足 (forall i,z_i otin(a,b))，(z^S) 是 (S) 问题的一组最优解，则 (exist z) 是原问题最优解，且 (z) 向 (S) 取整得到 (z^S)。
然后就可以二分了，(S) 取 (y_i) 中相邻值的时候此即为最小权闭合子图问题。
3.2 (1<p<infty) 的情况
实际上就是离散 -> 连续了，变成实数二分，原来的差值要改成导数。
3.3 (p=infty) 的情况
其实是 sb 题，二分之后就是每个 (f_i) 知道了取值范围，直接 DAG 上 dp 即可。
3.4 一些 nb 的扩展
考虑 (G) 是链，对每个前缀都求答案。
看不懂，咕了。
4 特殊情形
考虑 (G) 是满点集二维偏序的情况。
同样的二分方法，然后发现这个可以 dp 做。
考虑 (G) 是任意 (n) 个点二维偏序的情况。
同样的二分+dp 方法，只是不能只考虑相邻两行之间的影响了。
因为要求方案所以有点毒瘤，咕了。
5 一些应用
给定 (n) 个点 (m) 条边的无向连通图和两个边集 (E_1,E_2)，每条边有权值 (d_i)，每次操作将一条边的权值 (+1) 或 (-1)，求最少通过多少次操作使得：
- (E_1) 的生成子图是最小生成树。
- (E_2) 的生成子图是最大生成树。
(nle 50)，(mle 1000)。
可以对 (m) 条边建立偏序关系（非树边 (ge) 对应环上的树边），然后就是保序回归问题。
还有去年省选 D1T3，就是把图拟阵换成了线性拟阵，（根据这里的引理 5.6）也有对应的结论：(A) 是权值最大的基当且仅当 (forall uin A,vin Sackslash A)，若 ((Aackslash{u})cup{v}inmathcal I)，则 (w(u)ge w(v))。(B) 同理。