今天看到个有点意思的东西（
对于正整数 (n)，下式是关于 (x,y,z_1,cdots,z_n) 的恒等式。
[(x+y)(x+y+z_1+cdots+z_n)^{n-1}=xysum_{Isubseteq[n]}left(x+sum_{iin I}z_i
ight)^{|I|-1}left(y+sum_{i
otin I}z_i
ight)^{n-|I|-1}
]
引理 1. (n) 个点的有标号无根树与 ([n]^{n-2}) 存在双射，且 (i) 的出现次数为 (d_i-1)，其中 (d_i) 表示 (i) 号点在树中的度数。
此即为经典的 Prüfer 序列。
引理 2. 设 (mathcal T) 表示 (n) 个点的有标号无根树的集合，则
[(x_1+cdots+x_n)^{n-2}=sum_{Tinmathcal T}prod_{i=1}^nx_i^{d_T(i)-1}
]
此即为引理 1 的生成函数形式。
考虑证明原式。将 (x,y,z_1,cdots,z_n) 看作树上的点，设 (mathcal T') 表示 (x,y) 之间有边的有标号无根树集合，则原式右边即为 (displaystylesum_{Tinmathcal T'}x^{d_T(x)-1}y^{d_T(y)-1}prod_{i=1}^nz_i^{d_T(z_i)-1})。对应到 Prüfer 序列，规定编号的大小顺序是 (z_1<cdots<z_n<x<y)，则等价于 Prüfer 序列的最后一项为 (x) 或 (y)。(square)