【POJ 3415】Common Substrings

【链接】h在这里写链接

【题意】

    求两个串的长度大于等于k的公共子串个数。
    相同的重复计数。

【题解】

    先把两个字符串用一个分隔符分开。最好比出现的字符都大的一个数字。
    然后，对于这一个字符串，求出它的Height和Sa数组。
    然后，把height 数组【连续】大于等于k的，分成一组去考虑。
    (没有大于等于k了的话,显然子串的长度就不符合要求)

    如果我们在【这一组】里遇到了一个a串的后缀。
    那么显然，我们会在这个组里再找若干个b串的后缀。
    然后分别求出这个a串和这些b串的最长公共前缀temp,然后累加temp-k+1就好.

    但是这样实现的话,时间复杂度为O(n^2)

    有一个性质,就是任意两个后缀的最长公共前缀为它们之间(排名之间)的height的最小值。

    根据这个,用单调队列来做一个优化。
    对于连续的大于等于k的height值。
    i顺序扫过去。
        遇到的如果是a串,那么直接cnt累加height[i]-k+1,然后把它放到单调队列里面
        去,之后,如果再遇到a串的话,就看看是不是这个a串的height比之前的a串的height
        值更小,如果更小的话,就用新的,更小的height去取代旧的且比较大的height;
        (因为遇到了更小的,就说明,后面的b串如果要和a串递增答案,用的temp值就
        更小了,则cnt也会相应改变)
        这个过程就对应了,把单调队列的队尾的大的height给去掉。
        然后更新cnt;(cnt是下次遇到b串的时候累加答案的)
        然后把这个height[i]直接加到队列尾巴.
        因为遇到了一个新的a的后缀,所以后面的b如果要和这个a后缀做答案,
        肯定要从这个height[i]开始算最小值,后面如果有最小值,则后面再用
        上面的方法改就好。
        (之前虽然有更小的height,但是他们在[l,r]这个区间的左边。
        因此把它加到队列是没有问题的.

        如果遇到的是b串的后缀,那么,也应该用这个b串的后缀,来尝试改变一下单调
        队列里面的最小值,如果可改的话,那么他就取代了某些a串的height值了。还
        是一样,弹出队列尾巴比它大的。把这个新的加进去(因为是b的后缀,所以这个
        加入到队列尾巴以后,除非他取代了之前的a串的height,否则不计算个数),然
        后更改cnt的值。因为是b串,所以把之前的a串的cnt值累加进最后的答案就好。
        (所以这个cnt值,就相当于是预先算出来了前面的所有a的后缀,和下一个会遇
        到的b的后缀的答案的和)

    然后要反过来做一遍。
    即把b放在前面,遇到a累加b的答案。
    比如
    AABBAA
    (A和B代表了A和B的一个后缀)
    如果只做第一种
    3->5
    4->5
    3->6
    4->6
    这4种就会漏掉

【错的次数】

0

【反思】

转化模型:
给你n个数字ai,
每个数字属于A或属于B;
对于所有属于B的数字a[i]
求出j<i;
且a[j]属于A,
temp = ∑(min(a[j..i])-k+1)
对于所有的a[i]的temp值求和

【代码】

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;

int k;

const int N = 2e5;
const int MAX_CHAR = 255;//每个数字的最大值。
char s[N + 10];//如果是数字,就写成int s[N+10]就好,从0开始存
int Sa[N + 10], T1[N + 10], T2[N + 10], C[N + 10];
int Height[N + 10], Rank[N + 10];
int cnt[N + 10], dl[N + 10], tail;

void build_Sa(int n, int m) {
	int i, *x = T1, *y = T2;
	for (i = 0; i<m; i++) C[i] = 0;
	for (i = 0; i<n; i++) C[x[i] = s[i]]++;
	for (i = 1; i<m; i++) C[i] += C[i - 1];
	for (i = n - 1; i >= 0; i--) Sa[--C[x[i]]] = i;
	for (int k = 1; k <= n; k <<= 1)
	{
		int p = 0;
		for (i = n - k; i<n; i++) y[p++] = i;
		for (i = 0; i<n; i++) if (Sa[i] >= k) y[p++] = Sa[i] - k;
		for (i = 0; i<m; i++) C[i] = 0;
		for (i = 0; i<n; i++) C[x[y[i]]]++;
		for (i = 1; i<m; i++) C[i] += C[i - 1];
		for (i = n - 1; i >= 0; i--) Sa[--C[x[y[i]]]] = y[i];
		swap(x, y);
		p = 1; x[Sa[0]] = 0;
		for (i = 1; i<n; i++)
			x[Sa[i]] = y[Sa[i - 1]] == y[Sa[i]] && y[Sa[i - 1] + k] == y[Sa[i] + k] ? p - 1 : p++;
		if (p >= n) break;
		m = p;
	}
}

void getHeight(int n)
{
	int i, j, k = 0;
	for (i = 1; i <= n; i++) Rank[Sa[i]] = i;
	for (i = 0; i<n; i++) {
		if (k) k--;
		j = Sa[Rank[i] - 1];
		while (s[i + k] == s[j + k]) k++;
		Height[Rank[i]] = k;
	}
}

int main()
{
	//freopen("F:\rush.txt", "r", stdin);
	while (~scanf("%d", &k) && k)
	{
		scanf("%s", s);
		int l1 = strlen(s);
		s[l1] = 'z' + 1;//分隔符
		scanf("%s", s + l1 + 1);
		int n = strlen(s);
		s[n] = 0;//一个字符就链接完成了

		//然后开始求后缀数组
		build_Sa(n + 1, MAX_CHAR);//调用n+1
		getHeight(n);

		//后缀数组求完了
		//开始做算法

		tail = 0;
		long long temp = 0,ans =0;
		for (int i = 2; i <= n-1; i++)//求连续的大于等于k的组,a->b
			if (Height[i]>=k){
				int num = 0;
				while (tail >= 1 && Height[i] < dl[tail])
				{//比Height[i]小的都去掉,因为区间最值肯定变小了
					num+=cnt[tail];//加上a的后缀个数
					temp -= 1LL*cnt[tail] * (dl[tail] - k + 1);
					temp += 1LL*cnt[tail] * (Height[i] - k + 1);//改变累加值
					tail--;
				}
				tail++;//把height[i]放到队列尾巴
				dl[tail] = Height[i];
				if (Sa[i-1] < l1)//是一个a串
				{
					temp += (Height[i] - k + 1);//累加它对后面的b的影响
					cnt[tail] = num + 1;//把它看成一个整体了,前面的被他
					//"吃掉的"都和它一样了。
				}
				else
				{
					//是一个b串
					cnt[tail] = num;//他本身没有影响
				}
				if (Sa[i] > l1)//height[i]的影响范围只限于...i
					//height[i+1]的影响范围是..i+1
					//所以如果i是b串的话,它的height值已经算进去了
					//可以想一下i=2时的运行情况。
				{
					ans += temp;
					//i和j的lcp
					//为height[i+1]..height[j]里面的最小值
				}
			}
			else
			{
				tail = 0, temp = 0;
			}

		temp = 0, tail = 0;
		for (int i = 2; i <= n; i++)//求连续的大于等于k的组,b->a
			if (Height[i] >= k) {
				int num = 0;
				while (tail >= 1 && Height[i] < dl[tail])
				{//比Height[i]小的都去掉,因为区间最值肯定变小了
					num += cnt[tail];//加上b的后缀个数
					temp -= 1LL*cnt[tail] * (dl[tail] - k + 1);
					temp += 1LL*cnt[tail] * (Height[i] - k + 1);//改变累加值
					tail--;
				}
				tail++;//把height[i]放到队列尾巴
				dl[tail] = Height[i];
				if (Sa[i - 1] > l1)//是一个b串
				{
					temp += (Height[i] - k + 1);//累加它对后面的a的影响
					cnt[tail] = num + 1;//把它看成一个整体了,前面的被他
										//"吃掉的"都和它一样了。
				}
				else
				{
					//是一个a串
					cnt[tail] = num;//他本身没有影响
				}
				if (Sa[i] < l1)//height[i]的影响范围只限于...i
							   //height[i+1]的影响范围是..i+1
							   //所以如果i是a串的话,它的height值已经算进去了
							   //可以想一下i=2时的运行情况。
				{
					ans += temp;
					//i和j的lcp
					//为height[i+1]..height[j]里面的最小值
				}
			}
			else
			{
				tail = 0, temp = 0;
			}
		printf("%lld
", ans);
	}
	return 0;
}