【BZOJ 1010】[HNOI2008]玩具装箱toy

【题目链接】:http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1010

【题意】

【题解】

dp[i] = min(dp[i],dp[j]+sqr(sum[i]-sum[j]+i-(j+1)-l));
dp[i] = min(dp[i],dp[j]+sqr((sum[i]+i)-(sum[j]+j)-(l+1)));
令f[i] = sum[i] + i;
令c=l+1;
dp[i] = min(dp[i],dp[j]+sqr(f[i]-f[j]-c));
当j< k< i时;
假设
dp[j]+sqr(f[i]-f[j]-c)>dp[k]+sqr(f[i]-f[k]-c) ······①
设i之后的状态t;
f[t]=f[i]+v;
想知道i对后面的t的状态的影响;
dp[j]+sqr(f[t]-f[j]-c)>dp[k]+sqr(f[t]-f[k]-c);
dp[j]+sqr(f[i]+v-f[j]-c)>dp[k]+sqr(f[i]+v-f[k]-c);
dp[j]+sqr(f[i]-f[j]-c)+sqr(v)+2*(f[i]-f[j]-c)v>dp[k]+sqr(f[i]-f[k]-c)+sqr(v)+2(f[i]-f[k]-c)*v;
f[i]-f[j]-c>f[i]-f[k]-c
->
f[k]>f[j];
而f[k]>f[j]显然成立(k>j,且f单调递增);
所以,当j< k< i,①式成立的时候
只要考虑决策点k就好;j不会对后面的答案造成影响;不用考虑它;
然后看看①式成立的条件是什么;
->将①式展开;
dp[j]+sqr(f[i]-f[j]-c)>dp[k]+sqr(f[i]-f[k]-c)
dp[j]+sqr(f[i])+sqr(f[j]+c)-2*f[i](f[j]+c)>dp[k]+sqr(f[i]+sqr(f[k]+c)-2*f[i](f[k]+c);
dp[j]+sqr(f[j]+c)-2*f[i](f[j]+c)>dp[k]+sqr(f[k]+c)-2*f[i](f[k]+c);
dp[j]-dp[k]+sqr(f[j]+c)-sqr(f[k]+c)>2*f[i](f[j]+c)-2*f[i](f[k]+c);
(dp[j]-dp[k]+sqr(f[j]+c)-sqr(f[k]+c))>2*fi
f[j]>f[k]要改变不等式方向
(dp[j]-dp[k]+sqr(f[j]+c)-sqr(f[k]+c))/(2*(f[j]-f[k]))< f[i] ····②
也就是说,如果②式成立的话;
就k的决策更好,否则的话j的决策更好;
且根据上面的分析可知,这时候的决策对后面的结果不会有“坏”的影响;
(也就是当前的决策时可以推出后面的答案的);
写个单调队列就好;

【完整代码】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
#define LL long long
#define rep1(i,a,b) for (int i = a;i <= b;i++)
#define rep2(i,a,b) for (int i = a;i >= b;i--)
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define rei(x) scanf("%d",&x)
#define rel(x) scanf("%lld",&x)

typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<LL,LL> pll;

const int dx[9] = {0,1,-1,0,0,-1,-1,1,1};
const int dy[9] = {0,0,0,-1,1,-1,1,-1,1};
const double pi = acos(-1.0);
const int N = 5e4+100;

LL n,l,C;
LL c[N],f[N],sum[N],dp[N];
int dl[N],h,t;

LL sqr(LL x) { return x*x;}

double ju(int j,int k)
{
    double t = (dp[j]-dp[k]+sqr(f[j]+C)-sqr(f[k]+C))/(2*(f[j]-f[k]));
    return t;
}

int main()
{
    //freopen("F:\rush.txt","r",stdin);
    rel(n),rel(l);C = l+1;
    rep1(i,1,n)
    {
        rel(c[i]);
        sum[i] = sum[i-1]+c[i];
        f[i] = sum[i]+i;
    }
    h = 1,t = 1;
    dl[1] = 0,dp[0] = 0;
    rep1(i,1,n)
    {
        while (h<t && ju(dl[h],dl[h+1])<=f[i]) h++;
        int temp = dl[h];
        dp[i] = dp[temp] + sqr(f[i]-f[temp]-C);
        while (h<t && ju(dl[t-1],dl[t])>ju(dl[t],i)) t--;
        t++;
        dl[t] = i;
    }
    printf("%lld
",dp[n]);
    return 0;
}