【背景】
众所周知,郁杨是一个十分优秀的人,他每天都会用课余时间想物理问题,以保持对物理火热般地热爱。也因此,他的物理成绩每次都是95+。有一天我问他:“为什么你这么优秀?”,郁杨红了脸,很不好意思地对我说了一番话,看起来好像很萌的样子,说完了我就傻了。
【问题描述】
原来郁杨说:“成功无捷径,我每次做题的时候会先规定这题最多想K秒,然后休息一下再想,你可以想像你想问题的时候就像在读进度条,我每想S秒,那么这个进度条就会前进S格,只要恰好到了进度条的终点N,那么我就能把这题解决了!另外,多一秒都不行,要恰好N秒,不然脑子会坏掉的.”;
我:“。。。。”
给出K和N,求出郁杨解决这道题有多少种姿势D。
因为D可能很大所以只需输出其mod 7777777之后的结果就可以了.
//看完样例说明你就知道我在讲什么了,其中开始时进度条为0,所涉及到的计算都是整数。
【输入格式】
输入的第一行为K(1<=k<=10);
输入的第二行为N(N<=2^31-1);
【输出格式】
一个整数,为郁杨解决这道题的方案数 mod 7777777之后的结果.
【样例输入】
2
4
【样例输出】
5
【样例说明】
一共有5种姿势
(即最多想2秒,也就是说可以想1秒也可以想2秒,只要最后进度条恰好为4即可);
→1→2→3→4
→2→3→4
→2→4
→1→3→4
→1→2→4
【后话】
因为勤于思考郁杨成就了自己的理想,获得了人生的成功。
【题解】
显然有递推关系
f[n] = f[n-1]+f[n-2]+f[n-3]+…+f[n-k];
但是n巨大.
用迭代的方法虽然可以解决空间问题,但是时间还是会超的。
更优秀的办法:
用矩阵乘法进行迭代.
构造一个矩阵
以k = 3为例
[0 1 0] [f(n-3)] [f(n-2)]
[0 0 1] * [f(n-2)] = [f(n-1)]
[1 1 1] [f(n-1)] [f(n)]
则
[0 1 0] [f(1)] [f(n-2)]
[0 0 1] ^(n-3)* [f(2)] = [f(n-1)]
[1 1 1] [f(3)] [f(n)]
先处理出f[1..k]
然后处理出那个构造矩阵的(n-3)次方。然后就能够快速获得f(n)了;
因为n巨大,所以要用快速幂;
记得取模;
当时自己瞎编的背景,现在看到留下的就只有感动了,虽然当时有点幼稚,但很怀念。
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#define LL long long
using namespace std;
const int MAXK = 12;
const LL mod = 7777777;
struct abc
{
LL jz[MAXK][MAXK];
};
abc temp = { 0 },a;
int k,n;
LL f[MAXK];
void input(int &r)
{
r = 0;
char t = getchar();
while (!isdigit(t)) t = getchar();
while (isdigit(t)) r = r * 10 + t - '0', t = getchar();
}
abc jc(abc a, abc b)//矩阵a左乘b
{
abc c;
for (int i = 1;i <= k;i++)
for (int j = 1; j <= k; j++)
{
c.jz[i][j] = 0;
for (int l = 1; l <= k; l++)
c.jz[i][j] = (c.jz[i][j] + a.jz[i][l] * b.jz[l][j])%mod;
}
return c;
}
abc ksm(int x)//矩阵快速幂
{
if (x == 1)
return temp;
abc dd;
dd = ksm(x >> 1);
dd = jc(dd,dd);
if (x & 1)
dd = jc(dd, temp);
return dd;
}
int main()
{
input(k); input(n);
f[0] = 1;
for (int i = 1; i <= k; i++)
for (int j = 0; j <= i - 1; j++)//预处理出f[1..k]
f[i] += f[j];
if (n <= k)//小于k直接输出
{
printf("%I64d
", f[n]);
return 0;
}
for (int i = 1; i <= k - 1; i++)
temp.jz[i][i+1] = 1;
for (int i = 1; i <= k; i++)
temp.jz[k][i] = 1;
a = ksm(n - k);
f[11] = 0;
for (int i = 1; i <= k; i++)
f[11] = (f[11]+a.jz[k][i]*f[i])%mod;
printf("%I64d
", f[11]);
return 0;
}