【问题描述】
“有了金坷垃，肥料一袋能顶两袋撒，小麦亩产一千八，吸收两米下的氮磷钾……”，话说HYSBZ（Hengyang School for Boys & Zy）学识渊博孩纸们一讲到粮食，都会想起印度那个著名的故事：国王要在第一个格子里放入一粒小麦，接下来的格子放入前面一个格子的两倍的小麦。这样所需小麦总数是巨大的，哪是不用金坷垃就能完成的任务？不过为了减轻国王的任务，那个下棋获胜的宰相换了一个要求：“我只需要你在棋盘外放一粒小麦，可以将其理解为第0个格子，然后你需要在第一个格子里放入若干小麦，之后每一个格子放入前两个格子的小麦数之和的小麦，并且要满足第a个格子放x粒小麦，第b个格子放……”说到这，宰相突然发现自己说的满足第a个格子放x粒小麦的情况可能不存在……欺君可是大罪啊！国王看到宰相迟迟不说，自己也烦了！我自己来算！于是国王拜托你，让你算出第b个格子应该放几粒小麦。当然，就算答案不存在，你也是要告诉国王的。
【输入格式】kela.in
该题有多组数据，请读到文件末结束。
对于每一组数据仅一行，3个正整数a,x,b,分别表示第a个格子放了x粒小麦，以及你所需要计算的是第b个格子的小麦数量。
【输出格式】kela.out
对于每一次询问，仅1个整数，为第b个格子的小麦数量，若宰相说的情况不存在，那么请输出-1。
【样例输入】
1 1 2
3 5 4
3 4 6
12 17801 19
【样例输出】
2
8
-1
516847
【样例解释】
对于样例二，f[1]=2时,能够满足f[3]=5，因此宰相没有撒谎，此时第5个格子的小麦数应为f[4]=f[2]+f[3]=3+5=8.
【数据范围与约定】
对于50%的数据：如果答案存在，那么p<=50
对于100%的数据：1<=数据组数<=10000，1<=a,b<=20, 数据保证如果答案存在，那么1<=p<=1000000.(gwy注:p是第一格放置的小麦数)。
题解
题意:
给你一个数列,满足f(n)=f(n-1)+f(n-2);
知道第0项f(0)=1
给你第a项f(a),判断第a项可不可能为f(a);
如果可能就输出这个数列的第b项f(b);不可能就输出-1;
做法:
这数列只要第1项确定了。那么剩下的数就能确定了;
我们二分枚举第1项(题目有说在1-100W之间)
然后就需要通过第0项和第1项快速确定第a项是什么;
这可以用矩阵乘法实现
构造一个矩阵
利用矩阵乘法:
[0 1] * [f(n-2)] = [f(n-1)]
[1 1] [f(n-1)] [f(n) ]
从n-1转移到n需要乘1次;
那么从1转移到n就需要乘n-1次即
[0 1] ^(n-1) * [f(0)] = [f(n-1)]
[1 1] [f(1)] [f(n) ]
预处理出最左边那个矩阵的1..20次方;
通过二分的f(1)和已知的f(0)即可快速得到f(1..20),做出相应的判断即可;
如果最后二分结束了,还是不能得到一个f(1)使得f(a)=x,则输出-1;
否则再利用上面那个式子算出f(b)即可;
f(n)=构造矩阵的n-1次方[2][1]*f[0]+构造矩阵的n-1次方[2][2]*f[1];
这道题数据是我自己造的。
#include <cstdio>
#define LL long long
struct abc
{
LL jz[3][3];
};
abc a,pre[25];
abc jc(abc a, abc b)
{
abc c;
for (int i = 1; i <= 2; i++)
for (int j = 1; j <= 2; j++)
{
c.jz[i][j] = 0;
for (int k = 1; k <= 2; k++)
c.jz[i][j] += a.jz[i][k] * b.jz[k][j];
}
return c;
}
abc ksm(int x)
{
if (x == 1)
return a;
abc temp;
temp = ksm(x>>1);
temp = jc(temp, temp);
if (x & 1)
temp = jc(temp, a);
return temp;
}
int main()
{
//freopen("F:\rush.txt", "r", stdin);
a.jz[1][1] = 0; a.jz[1][2] = 1; a.jz[2][1] = 1; a.jz[2][2] = 1;
for (int i = 1; i <= 20; i++)//可以不用快速幂
pre[i] = ksm(i);
int number, key, what;
while (~scanf("%d%d%d", &number, &key, &what))
{
int l = 0, r = 1000000;
LL f1=-1;
if (number == 1)//如果给的是第一项的那么第一项就是key
f1 = key;
else
while (l <= r)//二分枚举第1项
{
int m = (l + r) >> 1;
LL j = pre[number - 1].jz[2][1] + pre[number - 1].jz[2][2] * m;
if (j == key)
{
f1 = m;
break;
}
else
if (j > key)
r = m - 1;
else
l = m + 1;
}
if (f1 != -1)//如果找到了满足f(a)==x的f1,则输出f(b)
{
LL ans = what==1?f1:pre[what - 1].jz[2][1] + pre[what - 1].jz[2][2] * f1;
printf("%I64d
", ans);
}
else
puts("-1");
}
return 0;
}