【u022】车的放置

【问题描述】

【题解】

先考虑一个最简单的情况。如一个n*n的棋盘。然后要放k个车。

我们可以先选出k行即C(n,k);

然后在列上对这k个棋子进行一次全排列即A(n,k);

比如k = 4;N=5

选的行为1，2,3,4

然后枚举的列1,2,3,4和4,3,2,1

前者表示第一行放在1，第二行放在2，。。。第4行放在4.(列)

后者表示第一行放在4，第二行放在3.。。。第4行放在1的位置.(列)

这是进行全排列的原因。

然后答案就是C(n,k)*A(n,k);

然后把原题的图切成下面的样子

然后在上面的小矩形内枚举放置i个棋子。

方案就是C(b,i)*A(a,i);

在下面。因为左边被占据了i列。所以下面可以用的只剩下a+c-i列。

可以看成是一个长为a+c-i，宽为d的矩形。

则在下面的方案为C(d,k-i)*A(a+c-i,k-i);

然后对于枚举的i,如果可行。则答案递增C(b,i)*A(a,i)*C(d,k-i)*A(a+c-i,k-i)

要记得取模。

然后组合数可以用C[i][j] = c[i-1][j]+c[i-1][j-1]得到。

然后因为

所以要求排列数可以用组合数乘上一个k！

一边取模就可以了。

然后因为C(b,i)*A(a,i)*C(d,k-i)*A(a+c-i,k-i) 中出现了a+c-i。所以把组合数开到[2000][2000]

不然会错！而且编译器不会告诉你数组越界了！

还有一种分法。

则对于枚举的i变成递增答案C(d,i)*A(c,i)+C(b+d-i,k-i)*A(a,k-i);

【代码】--按照第一种分法做的。

#include <cstdio>
#include <stdlib.h>

const int mo = 100003;
long long A[2001][2001], C[2001][2001], N1[2001], ans = 0; //乘的时候可能会超过int类型所以用Longlong了。
int a, b, c, d, k;

void init()
{
	for (int i = 0; i <= 2000; i++) //获取组合数
		C[i][0] = 1, C[i][i] = 1;
	for (int i = 1; i <= 2000; i++) 
		for (int j = 1; j <= i; j++)
			C[i][j] = (C[i - 1][j] + C[i - 1][j - 1]) % mo;
	N1[0] = 1;
	for (int i = 1; i <= 2000; i++) //获取1到2000的阶乘，当然都是取模后的结果。
		N1[i] = (N1[i - 1] * i) % mo;
	for (int i = 0; i <= 2000; i++) //用相应的组合数来获取排列数。
		for (int j = 0; j <= i; j++)
			A[i][j] = (C[i][j] * N1[j]) % mo;
}

int min(int a, int b) //返回a和b中的较小值。
{
	return a>b ? b : a;
}

void input_data()
{
	scanf("%d%d%d%d%d", &a, &b, &c, &d, &k);//输入数据
	int maxk = min(a, b); //这是在上面那个小矩形内能够放下的最大的车的数量
	for (int i = 0; i <= maxk; i++) //枚举在那个小矩形内放几个车
	{
		if ((k - i) > d) continue;
		if ((a + c - i)<(k - i)) continue; //如果下面的大矩形不能放下剩余的k-i个车则跳过
		ans = (ans + ((((C[b][i] * A[a][i]) % mo)*((C[d][k - i] * A[a + c - i][k - i]) % mo)) % mo)) % mo;
		//否则按照题解的思路递增答案。
	}
}

void output_ans()
{
	printf("%I64d", ans);
}

int main()
{
	//freopen("F:\rush.txt","r",stdin);
	//freopen("F:\rush_out.txt", "w", stdout);
	//freopen("place.in","r",stdin);
	//freopen("place.out","w",stdout);
	init();
	input_data();
	output_ans();
	//fclose(stdin);
	//	fclose(stdout);
	return 0;
}