常见结论
结论 1：当 (n & m=m) 时，( ext C(n,m)) 是奇数。
证明戳这。
结论 2：(sum_{i=0}^n ext{C}^2(n,i)= ext{C}(2n,n))。
两个盒子各有 (n) 个球，共取 (n) 个球的方案数是 ( ext{C}(2n,n))，这也相当于一个盒子取 (i) 个，另一个取 (n-i) 个。所以实际上这可以拓展到两个盒子有 (n,m) 个球的情况。
结论 3：( ext{C}(n,m)= ext{C}(n-1,m-1)+ ext{C}(n-1,m))。
第 (n) 个元素取或不取。
结论 4：(sum_{i=0/j}^{n} ext C(i,j)= ext C(n+1,j+1))。
证明用归纳法，可以证明 (n=0) 的情况成立。然后有：
结论 5：(sum_{i=0}^n i^2 ext{C}(n,i)=2^{n-2}n(n+1))。
结论 6：
[D(n)=n!sum_{i=0}^nfrac{(-1)^i}{i!} ][=ncdot D(n-1)+(-1)^n ]
这个可以用二项式反演证！令 (f(i)) 为长度为 (i) 的排列数。那么有：
后面的递推式可以通过这个式子化出来。
结论 7：
[sum_{n+m=N}inom{n}{s}cdot inom{m}{t}=inom{N+1}{s+t+1} ]
在 (N+1) 个球中取出 (s+t+1) 个球。相当于枚举第 (s+1) 个球的位置。
例题
例 1. 将长度为 (n) 的序列分成 (m) 段的方案数，允许段为空。或者，你会发现这和将 (n) 个相同的球放进 (m) 个不同的抽屉是等价的。
终于找到一个能说服我的 理解 了！
现在突然有了一种船新的理解！在 (n+m-1) 中选择 (m-1) 个分隔符，显然分出的序列可以为空。
例 2. ( ext{HDU - 5794 A Simple Chess})
可达点满足 ((x+y)mod 3=2) 可以归纳证明。每次 (x,y) 坐标和都会增加 (3)。
例 3. ( ext{arc110D - Binomial Coefficient is Fun})
如果确定了 (b)，答案就是非常好求的。所以一种思路就是先用组合数算 (b)，再来算答案。在 (n+m) 中选择 (n) 个分隔符，将整个序列分成 (n+1) 段。显然我们不要求分成的段有顺序，于是不妨令前 (i,iin[1,n]) 段对应 (a_i) 选择的 (b_i)。最后一段相当于满足 (sum b_ile m) 的限制。答案就是 ( ext{C}(n+m,n+sum a_i))。只要选出 (n+sum a_i) 个数，因为 (a_i) 是固定的，方案也就固定了。
( ext{Upd:}) 可以利用 结论 7。推广一下可以得到 (n) 个组合数相乘的式子：(inom{sum b_i+n-1}{sum a_i+n-1})。接下来只用算 (sum_{sum b_ile m} inom{sum b_i+n-1}{sum a_i+n-1})。利用 结论 4 可知答案为 (inom{m+n}{sum a_i+n})。
例 4. ( ext{abc171F - Strivore})
如果随便填会有重复的情况。考虑枚举原串的第一个字符的位置 (i)，规定如果有相同字符，选择最后面的字符为原串字符。前 (i-1) 个位置为 (26^{i-1})，后面取 (k+m-i) 个位置放 (m-1) 个字符，为 (inom{k+m-i}{m-1})。剩余位置不能和左边最近的原串字符相同，但如果中间隔了另一个不同的原串字符就不影响，为 (25^{k-i+1})。
当所选集合有顺序时更方便我们考虑问题（相当于在 (m) 个位置放集合），不妨先不管同种音乐的限制，最后将答案除以 (m!) 即可。
考虑题目的三个限制：
- 所选集合不为空。
- 两两集合不同。
- 对于 (iin [1,n])，(i) 在所选集合中出现次数和为偶数。
对于第一个限制，我们就只能选 (2^n-1) 种集合。设 (dp_i) 为在前 (i) 个位置放集合的合法方案数。有个很神奇的转化 —— 确定前 (i-1) 个集合，相当于确定第 (i) 个集合中 (jin [1,n]) 出现次数的奇偶性。而 (i) 在某个集合只能出现 (0/1) 次，所以相当于确定了第 (i) 个集合。方案数为 ( ext{A}(2^n-1,i-1))。
不过可能出现第 (i) 个集合为空集的情况。这种情况的方案数为 (dp_{i-1})。
还要排除第 (i) 个集合与前面的某 (j) 集合相同的情况。那么所有数在 (i,j) 集合的出现次数必定为偶数，所以剩余 (i-2) 个集合方案数为 (dp_{i-2})。不过我们需要在前 (i-1) 个位置中给 (j) 找一个位置，有 (i-1) 的系数。(i,j) 集合的取值方案就是 (2^n-1-(i-2))。
例 6. 求 (n) 个数里面取 (i) 个数异或的所有组合的和。(n le 1000, iin[1,n])。
对每一位进行计算。设某一位有 (k) 个 (0)，对于每个 (i)，枚举从 (k) 个 (0) 中选 (t) 个数，从 (n-k) 个 (1) 中选 (i-t) 个数。方案数为 (inom{k}{t}cdot inom{n-k}{i-t})，这些方案是否有贡献和 (n-k) 的奇偶性有关。
例 7. ( ext{agc043B - 123 Triangle})
手玩一下发现第二行就没有 (3) 了，所以将整体 (-1)，这不影响相邻两项的差。
还有个性质：如果序列中有 (1)，答案不可能为 (2)。因为 (1) 和 (0,2) 都会变成 (1)。在这种情况下，我们就只用判断答案的奇偶性。