( ext{Description})
( ext{Solution})
题目有一个限制:(P_i) 是个排列。
那么显然有:每个点只有一个点连向自己,只有一个点被自己连向。
是不是听起来很熟悉?这就是多个简单环组成的图(环大小可以为 (1))。
不过根据题目,发现出现奇环一定是无解的。因为要满足题目要求就必须在环上取一条边,这条边相邻的两条边都不能取,所以奇环是无解的。
只考虑偶环。对于每个偶环,显然就只有两种状态(环上相邻边取或不取序列):({0,1,0,1},{1,0,1,0})。
不过这样是 (mathcal O(2^{frac{n}{2}})) 的,直接 ( ext T) 飞。
不过我们发现长度为 (2) 的偶环是可以特判的!设这个偶环两点为 (i,j),且 (i<j),我们就令 (i) 为左括号,(j) 为右括号。因为这样不会增多未匹配的个数,反之就有可能。
你可能会觉得会不会有这种情况(好吧就是我觉得):(j=i+1),在 (i) 前正好有左括号,如果令 (i) 为右括号就将出现 (()(),反之为 ((())。你会发现如果第一种情况能构造出解右边就有右括号与 (j) 的左括号匹配,那么显然可以和前面的左括号匹配。
时间复杂度 (mathcal O(2^{frac{n}{4}}))。
( ext{Code})
#include <cstdio>
#define rep(i,_l,_r) for(register signed i=(_l),_end=(_r);i<=_end;++i)
#define fep(i,_l,_r) for(register signed i=(_l),_end=(_r);i>=_end;--i)
#define print(x,y) write(x),putchar(y)
template <class T> inline T read(const T sample) {
T x=0; int f=1; char s;
while((s=getchar())>'9'||s<'0') if(s=='-') f=-1;
while(s>='0'&&s<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(s^48),s=getchar();
return x*f;
}
template <class T> inline void write(const T x) {
if(x<0) return (void) (putchar('-'),write(-x));
if(x>9) write(x/10);
putchar(x%10^48);
}
#include <vector>
#include <cstdlib>
using namespace std;
const int maxn=105;
vector <int> g[maxn];
int n,p[maxn],cnt,siz[maxn];
bool vis[maxn],co[maxn];
void FindCircle(int u,int id) {
if(vis[u]) return;
g[id].push_back(u); vis[u]=1; ++siz[id];
FindCircle(p[u],id);
}
void ok() {
int tot=0;
rep(i,1,n) {
tot+=(co[i]?-1:1);
if(tot<0) return;
}
rep(i,1,n) putchar(co[i]?')':'('); puts("");
exit(0);
}
void dfs(int x) {
if(x>cnt) return ok();
if(siz[x]==2) {
co[g[x][0]]=0,co[g[x][1]]=1;
dfs(x+1);
return;
}
rep(i,0,g[x].size()-1) co[g[x][i]]=(i&1); dfs(x+1);
rep(i,0,g[x].size()-1) co[g[x][i]]=(!(i&1)); dfs(x+1);
}
int main() {
n=read(9);
rep(i,1,n) p[i]=read(9);
rep(i,1,n)
if(!vis[i]) FindCircle(i,++cnt);
dfs(1);
return 0;
}