[学习笔记] 快速数论变换 (NTT)

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• 0. 前置芝士
• 1. 正文
  • 1.1. 转化
  • 1.2. 质数的选取
  • 1.3. 代码

0. 前置芝士

可以看看我写的 (mathtt{FFT})。

还有 原根。

1. 正文

1.1. 转化

还记得单位复根吗？如果我们找到一个数满足单位复根的性质，就可以将其替代。

定义 (omega_n) 为 (g^{frac{varphi(p)}{n}})。

1. (omega_n^j=omega_{n imes k}^{j imes k})。这就是 (g) 的指数分子分母同时乘上 (k)，所以相等。
2. (omega_n^j=-omega_n^{j+frac{n}{2}})。(omega_n^{frac{n}{2}}) 就是 (g^{frac{varphi(p)}{2}}) 即 (-1)。
3. (omega_n^n=1)。显然 (g^{varphi(p)}=1)。

1.2. 质数的选取

即保证 (varphi(p)) 含有足够的 (2) 的幂（保证 (frac{varphi(p)}{n}) 为整）。

1.3. 代码

注意 (mathtt{P3803}) 是没有模数的，不过数据范围太小，可以看作是取模之后的结果。

#include <cstdio>

#define rep(i,_l,_r) for(register signed i=(_l),_end=(_r);i<=_end;++i)
#define fep(i,_l,_r) for(register signed i=(_l),_end=(_r);i>=_end;--i)
#define erep(i,u) for(signed i=head[u],v=to[i];i;i=nxt[i],v=to[i])
#define efep(i,u) for(signed i=Head[u],v=to[i];i;i=nxt[i],v=to[i])
#define print(x,y) write(x),putchar(y)

template <class T> inline T read(const T sample) {
    T x=0; int f=1; char s;
    while((s=getchar())>'9'||s<'0') if(s=='-') f=-1;
    while(s>='0'&&s<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(s^48),s=getchar();
    return x*f;
}
template <class T> inline void write(const T x) {
    if(x<0) return (void) (putchar('-'),write(-x));
    if(x>9) write(x/10);
    putchar(x%10^48);
}
template <class T> inline T Max(const T x,const T y) {if(x>y) return x; return y;}
template <class T> inline T Min(const T x,const T y) {if(x<y) return x; return y;}
template <class T> inline T fab(const T x) {return x>0?x:-x;}
template <class T> inline T gcd(const T x,const T y) {return y?gcd(y,x%y):x;}
template <class T> inline T lcm(const T x,const T y) {return x/gcd(x,y)*y;}
template <class T> inline T Swap(T &x,T &y) {x^=y^=x^=y;}

#include <iostream>
using namespace std;

const int maxn=3e6+5,mod=998244353,g=3;

int n,m,ig,a[maxn],b[maxn],lim=1,bit,ilim,rev[maxn];

int qkpow(int x,int y) {
	int r=1;
	while(y) {
		if(y&1) r=1ll*r*x%mod;
		x=1ll*x*x%mod; y>>=1;
	}
	return r;
}

void init() {
	while(lim<=n+m) lim<<=1,++bit;
	ilim=qkpow(lim,mod-2);
	rep(i,0,lim-1) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<bit-1); 
}

void NTT(int *t,bool op) {
	int wn,w,tmp;
	rep(i,0,lim-1) if(i<rev[i]) swap(t[i],t[rev[i]]);
	for(int mid=1;mid<lim;mid<<=1) {
		wn=qkpow(op?g:ig,(mod-1)/(mid<<1));
		for(int i=0;i<lim;i+=(mid<<1)) {
			w=1;
			for(int j=0;j<mid;++j,w=1ll*w*wn%mod) {
				tmp=1ll*w*t[i+j+mid]%mod;
				t[i+j+mid]=(t[i+j]-tmp+mod)%mod,t[i+j]=(t[i+j]+tmp)%mod;
			}
		}
	}
}

int main() {
	n=read(9),m=read(9); ig=qkpow(g,mod-2);
	rep(i,0,n) a[i]=(read(9)+mod)%mod;
	rep(i,0,m) b[i]=(read(9)+mod)%mod;
	init();
	NTT(a,1),NTT(b,1);
	rep(i,0,lim-1) a[i]=1ll*a[i]*b[i]%mod;
	NTT(a,0);
	rep(i,0,n+m) print(1ll*a[i]*ilim%mod,' ');
	return 0;
}