题意
求 
。
其中 (nle10^5,mle 10^9)。
解法
先开始没有注意到 (n) 比较小，拿着柿子就开始硬刚，刚出了这么个脑瘫产物：(sum_{i=1}^{n imes m}varphi(i)d_0(i))。
不仅上界那么大，还没有办法用杜教筛（(varphi(i)) 和 (d_0(i)) 都没有办法用简单函数 (fleft(frac{n}{i} ight)) 来搞掉）。
不过这里有个结论：
若 (m) 的质因子种类包含在 (n) 的质因子种类中，那么 (varphi(n imes m)=varphi(n) imes m)。
证明用欧拉函数的展开式即可。
我们设 (S(n,m)=sum_{i=1}^m varphi(n imes i))，令 (n') 为 (n) 的所有种类质因子的乘积，(n’'=frac{n}{n'})。那么就有 (S(n,m)=n''sum_{i=1}^m varphi(n' imes i))。由于答案是 (sum_{i=1}^nS(i,m))，为了方便算，我们将每个 (i) 的 (i'') 提出来，将 (i’) 代入 (S)。
[sum_{i=1}^m varphi(n imes i)=sum_{i=1}^m varphi(frac{n}{gcd(n,i)} imes i imes gcd(n,i))
]
由于 (n) 的质因子指数均为 (1)，所以 (frac{n}{gcd(n,i)}) 与 (gcd(n,i)) 互质，又因为 (frac{n}{gcd(n,i)}) 与 (i) 显然互质，故 (frac{n}{gcd(n,i)}) 和 (i imes gcd(n,i)) 互质，可以拆开。
[=sum_{i=1}^m varphi(frac{n}{gcd(n,i)}) imes varphi(i imes gcd(n,i))
]
[=sum_{i=1}^m varphi(frac{n}{gcd(n,i)}) imes varphi(i) imes ext{id}(gcd(n,i))
]
[=sum_{i=1}^m varphi(frac{n}{gcd(n,i)}) imes varphi(i) imes sum_{d|gcd(n,i)}varphi(d)
]
(frac{n}{gcd(n,i)}) 与 (gcd(n,i)) 的因子互质，故：
[=sum_{i=1}^m varphi(i) imes sum_{d|gcd(n,i)}varphi(frac{n}{frac{gcd(n,i)}{d}})
]
[=sum_{i=1}^m varphi(i) imes sum_{d|n,d|i}varphi(frac{n}{d})
]
枚举 (d)，
[=sum_{d=1}^nvarphi(frac{n}{d})sum_{i=1}^{frac{m}{d}} varphi(i imes d)
]
[=sum_{d=1}^nvarphi(frac{n}{d})S(d,frac{m}{d})
]
这样就可以记忆化搜索了，边界就是 (n=1)，此时 (S(1,m)) 就是欧拉函数前缀和，用杜教筛即可。
代码
#include <cstdio>
#define rep(i,_l,_r) for(register signed i=(_l),_end=(_r);i<=_end;++i)
#define fep(i,_l,_r) for(register signed i=(_l),_end=(_r);i>=_end;--i)
#define erep(i,u) for(signed i=head[u],v=to[i];i;i=nxt[i],v=to[i])
#define efep(i,u) for(signed i=Head[u],v=to[i];i;i=nxt[i],v=to[i])
#define print(x,y) write(x),putchar(y)
template <class T> inline T read(const T sample) {
T x=0; int f=1; char s;
while((s=getchar())>'9'||s<'0') if(s=='-') f=-1;
while(s>='0'&&s<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(s^48),s=getchar();
return x*f;
}
template <class T> inline void write(const T x) {
if(x<0) return (void) (putchar('-'),write(-x));
if(x>9) write(x/10);
putchar(x%10^48);
}
template <class T> inline T Max(const T x,const T y) {if(x>y) return x; return y;}
template <class T> inline T Min(const T x,const T y) {if(x<y) return x; return y;}
template <class T> inline T gcd(const T x,const T y) {return y?gcd(y,x%y):x;}
template <class T> inline T lcm(const T x,const T y) {return x/gcd(x,y)*y;}
template <class T> inline T fab(const T x) {return x>0?x:-x;}
template <class T> inline T Swap(T &x,T &y) {x^=y^=x^=y;}
#include <map>
using namespace std;
const int mod=1e9+7,maxn=1e5+5,lim=1e6;
int n,m,pre[lim+5],phi[lim+5],low[lim+5],Ans,p[maxn],pc;
bool is[lim+5];
map <int,int> ans[maxn],mp;
void inc(int &x,int y) {
x=x+y;
if(x>=mod) x=x-mod;
}
void dec(int &x,int y) {
x=x-y;
if(x<0) x=x+mod;
}
void sieve() {
phi[1]=low[1]=1;
rep(i,2,lim) {
if(!is[i]) p[++pc]=i,phi[i]=i-1,low[i]=i;
rep(j,1,pc) {
if(i*p[j]>lim) break;
is[i*p[j]]=1;
if(i%p[j]) phi[i*p[j]]=phi[i]*(p[j]-1),low[i*p[j]]=low[i]*p[j];
else {
phi[i*p[j]]=phi[i]*p[j],low[i*p[j]]=low[i];
break;
}
}
}
rep(i,1,lim) pre[i]=(pre[i-1]+phi[i])%mod;
}
int Phi(int n) {
if(n<=lim) return pre[n];
if(mp.count(n)) return mp[n];
int ret=1ll*(n+1)*n/2%mod,r;
for(int l=2;l<=n;l=r+1) {
r=(n/(n/l));
dec(ret,1ll*(r-l+1)*Phi(n/l)%mod);
}
mp.insert(make_pair(n,ret));
return ret;
}
int S(int n,int m) {
if(!m) return 0;
if(n==1) return Phi(m);
if(ans[n].count(m)) return ans[n][m];
int ret=0;
for(int i=1;i*i<=n;++i)
if(n%i==0) {
inc(ret,1ll*phi[n/i]*S(i,m/i)%mod);
if(i*i^n) inc(ret,1ll*phi[i]*S(n/i,m/(n/i))%mod);
}
ans[n].insert(make_pair(m,ret));
return ret;
}
int main() {
n=read(9),m=read(9);
sieve();
rep(i,1,n) inc(Ans,1ll*i/low[i]*S(low[i],m)%mod);
print(Ans,'
');
return 0;
}