0. 楔子
我们知道，(mathtt{FFT}) 是用复数运算的，当我们需要取模且数据范围较大的时候就没有办法了。
比如 这道题。
如果能减小数据范围，我们就可以先算再模，于是，拆系数 (mathtt{FFT}) 就闪亮登场了！
1. 正文
注意：(*) 表示卷积。
首先计算一下本题的数据范围：(10^9 imes 10^9 imes 10^5=10^{23})（两数相乘，加 (n) 遍）。
设 (base) 为一个 (sqrt p) 级别的数，可以将 (F(x),G(x)) 分别分解成 (A(x) imes base+B(x),C(x) imes base+D(x))（注意要除尽），这样拆出来的函数是 (<sqrt p) 的。
故
[F*G=(A imes base+B)*(C imes base+D)
]
[=A*C imes base^2+(A*D+B*C) imes base+B*D
]
这样数据范围就是 (10^{14}) 左右。但是这样要做 (7) 次 (mathtt{FFT})（插值 (4) 次，转换 (3) 次）。
我们知道，(mathtt{FFT}) 的虚部赋值为 (0)，我们可以利用这个空间。
考虑计算 (A,B,C,D) 的点值表示。令
[f(k)=A(k)+i imes B(k)
]
[g(k)=A(k)-i imes B(k)
]
[h(k)=C(k)+i imes D(k)
]
我们发现 (f(k),g(n-k)) 是共轭的（(n) 是 (n) 补全的 (2) 的幂）。
[f(k)=A(k)+i imes B(k)
]
[=sum_{j=0}^{n-1}a_j(omega_n^k)^j+i imes sum_{j=0}^{n-1}b_j(omega_n^k)^j
]
[=sum_{j=0}^{n-1}(a_j+i imes b_j)(omega_n^k)^j
]
[=sum_{j=0}^{n-1}(a_j+i imes b_j)(cos(frac{2pi kj}{n})+isin (frac{2pi kj}{n}))
]
[=sum_{j=0}^{n-1}(a_j imes cos(frac{2pi kj}{n})-b_j imes sin (frac{2pi kj}{n}))+i(b_j imes cos(frac{2pi kj}{n})+a_j imes sin (frac{2pi kj}{n}))
]
[g(n-k)=A(n-k)-i imes B(n-k)
]
[=sum_{j=0}^{n-1}a_j(omega_n^{-k})^j-i imes sum_{j=0}^{n-1}b_j(omega_n^{-k})^j
]
[=sum_{j=0}^{n-1}(a_j-i imes b_j)(omega_n^{-k})^j
]
[=sum_{j=0}^{n-1}(a_j-i imes b_j)(cos(frac{2pi kj}{n})-isin (frac{2pi kj}{n}))
]
[=sum_{j=0}^{n-1}(a_j imes cos(frac{2pi kj}{n})-b_j imes sin (frac{2pi kj}{n}))-i(b_j imes cos(frac{2pi kj}{n})+a_j imes sin (frac{2pi kj}{n}))
]
所以计算 (f,g,h) 的点值表达式只用 (2) 次 (mathtt{FFT})。
令 (p=f*h,q=g*h)。所以
[p=A*C-B*D+i(A*D+B*C)
]
[q=A*C+B*D+i(A*D-B*C)
]
左边的每一项就是右边卷完后每一项系数经过一番运算。
所以计算出 (p,q) 需要 (2) 次 (mathtt{FFT})，将 (p,q) 对应项相加即可解出 (A*C,A*D)，从而都解出来。
总共需要 (4) 次 (mathtt{FFT})。
2. 代码
用到了预处理单位根，这样精度会高一些。
#include <cstdio>
#define rep(i,_l,_r) for(register signed i=(_l),_end=(_r);i<=_end;++i)
#define fep(i,_l,_r) for(register signed i=(_l),_end=(_r);i>=_end;--i)
#define erep(i,u) for(signed i=head[u],v=to[i];i;i=nxt[i],v=to[i])
#define efep(i,u) for(signed i=Head[u],v=to[i];i;i=nxt[i],v=to[i])
#define print(x,y) write(x),putchar(y)
template <class T> inline T read(const T sample) {
T x=0; int f=1; char s;
while((s=getchar())>'9'||s<'0') if(s=='-') f=-1;
while(s>='0'&&s<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(s^48),s=getchar();
return x*f;
}
template <class T> inline void write(const T x) {
if(x<0) return (void) (putchar('-'),write(-x));
if(x>9) write(x/10);
putchar(x%10^48);
}
template <class T> inline T Max(const T x,const T y) {if(x>y) return x; return y;}
template <class T> inline T Min(const T x,const T y) {if(x<y) return x; return y;}
template <class T> inline T fab(const T x) {return x>0?x:-x;}
template <class T> inline T gcd(const T x,const T y) {return y?gcd(y,x%y):x;}
template <class T> inline T lcm(const T x,const T y) {return x/gcd(x,y)*y;}
template <class T> inline T Swap(T &x,T &y) {x^=y^=x^=y;}
#include <cmath>
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
const double Pi=acos(-1.0);
const int num1=(1<<30),num2=(1<<15),maxn=262150;
int n,m,mod,rev[maxn],lim,bit;
ll a1b1,a1b2,a2b1,a2b2;
struct cp {
double x,y;
cp operator + (const cp t) const {return (cp){x+t.x,y+t.y};}
cp operator - (const cp t) const {return (cp){x-t.x,y-t.y};}
cp operator * (const cp t) const {return (cp){x*t.x-y*t.y,y*t.x+x*t.y};}
} f[maxn],g[maxn],h[maxn],w[maxn][2],tmp;
void FFT(cp *f,const int op=1) {
rep(i,0,lim-1) if(i<rev[i]) swap(f[i],f[rev[i]]);
for(int mid=1;mid<lim;mid<<=1) {
for(int i=0,p=(mid<<1);i<lim;i+=p) {
for(int j=0;j<mid;++j) {
tmp=w[lim/mid/2*j][op==1]*f[i+j+mid];
f[i+j+mid]=f[i+j]-tmp,f[i+j]=f[i+j]+tmp;
}
}
}
}
void init() {
lim=1;
while(lim<=n+m) lim<<=1,++bit;
rep(i,0,lim-1) {
rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<bit-1);
w[i][1]=(cp){cos(Pi*2*i/lim),sin(Pi*2*i/lim)};
w[i][0]=(cp){w[i][1].x,-w[i][1].y};
}
}
void MTT() {
int val;
rep(i,0,n) val=read(9),f[i]=(cp){val>>15,val&32767};
rep(i,0,m) val=read(9),h[i]=(cp){val>>15,val&32767};
init();
FFT(f),FFT(h);
g[0]=(cp){f[0].x,-f[0].y};
rep(i,1,lim-1) g[i]=(cp){f[lim-i].x,-f[lim-i].y};
// 先除以 lim，这样就只用除一次
rep(i,0,lim-1) h[i].x/=lim,h[i].y/=lim,f[i]=f[i]*h[i],g[i]=g[i]*h[i];
FFT(f,-1),FFT(g,-1);
rep(i,0,n+m) {
a1b1=(ll)((f[i].x+g[i].x)/2+0.5)%mod;
a1b2=(ll)((f[i].y+g[i].y)/2+0.5)%mod;
a2b1=((ll)(f[i].y+0.5)-a1b2)%mod;
a2b2=((ll)(g[i].x+0.5)-a1b1)%mod;
print((a1b1*num1%mod+(a1b2+a2b1)*num2%mod+a2b2)%mod,' ');
}
puts("");
}
int main() {
n=read(9),m=read(9),mod=read(9);
MTT();
return 0;
}