1. 定义
两个数论函数 (f,g) 的狄利克雷卷积就是：
[(f*g)(n)=sum_{d|n}f(d)g(frac{n}{d})
]
2. 性质
2.1. 交换律
[(f*g)(n)=(g*f)(n)
]
2.2. 结合律
[((f*g)*h)(n)=(f*(g*h))(n)
]
证明：
发现其实枚举的因子都是一样的，所以可以拓展到一个多函数的柿子：
[(f_1*f_2*...*f_n)(len)=sum_{d_1d_2...d_n=len} f_1(d_1)f_2(d_2)...f_n(d_n)
]
2.3. 分配律
[((f+g)*h)(n)=(f*h+g*h)(n)
]
证明：
[((f+g)*h)(n)=sum_{d_1d_2=n}f(d_1)h(d_2)+g(d_1)h(d_2)
]
2.4. 逆元
对于每个 (f(1) eq 0) 的函数 (f)，都有 (f*g=epsilon)。
证明：
定义
[g(n)=frac{1}{f(1)} left([n==1]-sum_{d|n,d
eq1}f(d)g(frac{n}{d})
ight)
]
则有：
[f*g=sum_{d|n}f(d)g(frac{n}{d})
]
[=f(1)g(n)+sum_{d|n,d
eq1}f(d)g(frac{n}{d})
]
[=[n==1]=epsilon
]
注：就是从 (f*g=epsilon) 来推。
3. 常用卷积
-
(f*epsilon=f)。显然只有 (d=n) 时才能贡献值，此时有 (f(n) imes 1)。
-
(mu*1=epsilon)。
证明：
[(mu*1)(n)=sum_{d|n}mu(d) ]-
(n=1)。显然 (mu(1)=epsilon(1)=1)。
-
(n eq1)。将 (n) 分解成 (p_1p_2...p_k)，考虑除了 (1)，只有质因子次数为 (1) 的 (d) 对答案有贡献。枚举质因子个数 (r)，显然符合条件的因子只有 (C_k^r) 个，(+1,-1) 就是对应的 (mu)。
[sum_{d|n}mu(d)=1-C_k^1+C_k^2...+(-1)^kC_k^k ][=sum_{r=0}^k (-1)^rC_k^r ]由二项式定理得答案为 (0)。
-
-
(1*1= ext d)。显然前式为 (sum_{d|n}1)。
我感觉这个看上去非常离谱。 -
( ext{id}*1=sigma)。
证明：
[( ext{id}*1)(n)=sum_{d|n}d=sigma(n) ] -
(varphi*1= ext{id})。
证明：
共乘 (mu)，则等价于：
[varphi= ext{id}*mu ]而，
[varphi(n)=sum_{i=1}^n[gcd(i,n)=1] ][=sum_{i=1}^nsum_{d|(i,n)}mu(d) ][=sum_{d|n}mu(d) imes frac{n}{d} ]这里其实就是枚举 (d)，那么 (d) 在 (n) 以内的倍数个数可求，且倍数与 (n) 的 (gcd) 是 (d) 的倍数。
[= ext{id}*mu ]
好，我们整理一下：
[mu stackrel{*1}{
ightarrow}epsilon stackrel{*1}{
ightarrow}1 stackrel{*1}{
ightarrow}sigma_0
]
[varphi stackrel{*1}{
ightarrow} ext{id} stackrel{*1}{
ightarrow}sigma
]
反过来也可以，我们乘上 (mu)（即 (1) 的逆元）就行了。