历史最值线段树

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( ext{First floor!})

问题

区间加法，区间赋值，询问区间 (max) 以及历史 (max)。

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解法

首先有一些定义：

• add 当前加法标记。

• hadd 历史最大加法标记。假设某节点的加法标记序列为 (s)，那么它就是 (s) 的前缀和的最大值。

• cov 当前覆盖标记。

• hcov 历史最大覆盖标记。

• tag 当前是否覆盖标记。

• mx 当前区间最大值。

• h 历史区间最大值。

只有加法操作可以这样维护：

void Add(int d,int hd) {
	// d：修改的当前加法标记，hd：修改的历史最大加法标记
	hadd=max(hadd,add+hd);
	h=max(h,mx+hd); 
	add+=d,mx+=d;
}

hadd 的更新相当于将两个操作序列接在一起（假设 (a) 在 (b) 之前），那么要么选取 (a) 的 hadd，要么选取 (a) 的操作和加上 (b) 的 hadd。

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如果又有赋值，又有加法，操作就变得混乱起来。不过，我们可以将一个节点上的操作序列合并成 "加法" + "赋值"。因为赋值之后的加法操作其实也是赋值。

代码

#include <cstdio>
#define print(x,y) write(x),putchar(y)

template <class T>
inline T read(const T sample) {
	T x=0; char s; bool f=0;
	while((s=getchar())>'9' or s<'0')
		f|=(s=='-');
	while(s>='0' and s<='9')
		x=(x<<1)+(x<<3)+(s^48),
		s=getchar();
	return f?-x:x;
}

template <class T>
inline void write(const T x) {
	if(x<0) {
		putchar('-'),write(-x);
		return;
	}
	if(x>9) write(x/10);
	putchar(x%10^48);
} 

#include <iostream>
using namespace std;

const int maxn=1e5+5,inf=0x7fffffff;

int n;
char op[5];
struct node {
	int mx,h,add,cov,hadd,hcov;
	bool tag;
	
	void Cover(int d,int hd) {
		if(tag) {
			hcov=max(hcov,hd);
		}
		else {
			tag=1;
			hcov=hd;
		}
		add=0;
		h=max(h,hd);
		cov=mx=d;
	}
	
	void Add(int d,int hd) {
		hadd=max(hadd,add+hd);
		h=max(h,mx+hd); 
		add+=d,mx+=d;
	}
	
	void Change(int d,int hd) {
		// 将加法转化成赋值标记
		if(tag) Cover(d+cov,hd+cov);
		else Add(d,hd);
	}
} t[maxn<<2];

void pushUp(int o) {
	t[o].mx=max(t[o<<1].mx,t[o<<1|1].mx);
	t[o].h=max(t[o<<1].h,t[o<<1|1].h);
}

void build(int o,int l,int r) {
	t[o].mx=t[o].h=-inf;
	if(l==r) {
		t[o].mx=t[o].h=read(9);
		return;
	}
	int mid=l+r>>1;
	build(o<<1,l,mid);
	build(o<<1|1,mid+1,r);
	pushUp(o);
}

void pushDown(int o) {
	t[o<<1].Change(t[o].add,t[o].hadd);
	t[o<<1|1].Change(t[o].add,t[o].hadd);
	t[o].add=t[o].hadd=0;
	if(t[o].tag) {
		t[o<<1].Cover(t[o].cov,t[o].hcov);
		t[o<<1|1].Cover(t[o].cov,t[o].hcov);
		t[o].tag=t[o].cov=t[o].hcov=0;
	}
}

void modify(int o,int l,int r,int L,int R,int k) {
	if(l>R or r<L) return;
	if(l>=L and r<=R) {
		t[o].Cover(k,k);
		return;
	}
	int mid=l+r>>1;
	pushDown(o);
	modify(o<<1,l,mid,L,R,k);
	modify(o<<1|1,mid+1,r,L,R,k);
	pushUp(o);
}

void add(int o,int l,int r,int L,int R,int k) {
	if(l>R or r<L) return;
	if(l>=L and r<=R) {
		t[o].Change(k,k);
		return;
	}
	int mid=l+r>>1;
	pushDown(o);
	add(o<<1,l,mid,L,R,k);
	add(o<<1|1,mid+1,r,L,R,k);
	pushUp(o);
}

int query(int o,int l,int r,int L,int R) {
	if(l>=L and r<=R) return t[o].mx;
	int mid=l+r>>1;
	pushDown(o);
	int ret=-inf;
	if(L<=mid)	
		ret=query(o<<1,l,mid,L,R);
	if(R>mid)
		ret=max(ret,query(o<<1|1,mid+1,r,L,R));
	return ret;
}

int h_query(int o,int l,int r,int L,int R) {
	if(l>=L and r<=R) return t[o].h;
	int mid=l+r>>1;
	pushDown(o);
	int ret=-inf;
	if(L<=mid)	
		ret=h_query(o<<1,l,mid,L,R);
	if(R>mid)
		ret=max(ret,h_query(o<<1|1,mid+1,r,L,R));
	return ret;
}

int main() {
	n=read(9);
	build(1,1,n);
	int x,y;
	for(int q=read(9);q;--q) {
		scanf("%s %d %d",op,&x,&y);
		if(op[0]=='Q') {
			print(query(1,1,n,x,y),'
');
		}
		else if(op[0]=='A') {
			print(h_query(1,1,n,x,y),'
');
		}
		else if(op[0]=='P') {
			add(1,1,n,x,y,read(9));
		}
		else {
			modify(1,1,n,x,y,read(9));
		}
	}
	return 0;
}