HDU 4320 Arcane Numbers 1（质因子）

题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4320

题意：
给你任意一个 p 进制下有限位数的数 n，问是否一定能转化成 q 进制下有限位数的数字 m。
解题思路：
显然若 n 为整数，一定可以，那么我们下面分析一下 n 含小数的情况。
设 n 的小数部分为 x，且小数部分共 k 位，第 i 位上的数字为 ai。
那么我们可以将 x 表示成下面式子的形式：
。
而在进制转化中，整数部分是“除基倒取余”，小数部分是“乘基正取整”，且乘到小数部分为0时截止。
于是问题转化成了 x 在什么时候小数部分“乘基”一定会变成0。
由 x 的表达式我们可知，当且仅当乘数中含有 p^k 这个因子时，x 的小数部分才为0。
那么就相当于判断 q^h 中是否含有 p^k 这个因子（h 可无限大）。
又由算术基本定理，p^k 中的质因子一定和 p 中的相同。
所以只要 q 中包含 p 的所有质因子，就必定存在 h 使得 q^h 中包含 p^k 这个因子，从而使问题有解。

那么，如何判断 q 中是否包含 p 的所有质因子呢？

 

朴素方法：

将素数存入prime数组中，然后从a的质因数出发，判断b mod (该质因数) == 0 ?

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <math.h>
int visit[1000006],prime[400006];
void GetPrime(){
 int cnt=0;
 memset(visit,0,sizeof(visit));
 for(int i=2;i<1000006;i++){
  if(!visit[i]){
   prime[cnt++]=i;
  }
  for(int j=0;(j<cnt)&&(i*prime[j]<1000006);j++){
   visit[i*prime[j]]=1;
   if(i%prime[j]==0){
    break;
   }
  }
 }
}
int main(){
 int t,cases=1;
 scanf("%d",&t);
 GetPrime();           //素数表
 while(t--){
  __int64 a,b;
  scanf("%I64d %I64d",&a,&b);
  int flag=1;
  for(int i=0;prime[i]<=(int)sqrt(a)&&prime[i];i++){
   int x=prime[i];
   if(a%x==0){
    if(b%x!=0){
     flag=0;
     break;
    }
    while(a%x==0){
     a/=x;
    }
   }
  }
  if(a!=1&&b%a!=0){
    flag=0; 
  }
  printf("Case #%d: ",cases++);
  printf(flag? "YES\n":"NO\n");
 }
}

巧妙方法：

1、若 p 和 q 不互质，则只需要判断 q 中是否包含 p/gcd(p,q) 的所有质因子。
2、若 p 和 q 互质，当且仅当 p = 1 时，q 中包含 p 的所有质因子。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <stack>
#include <queue>
#include <map>
#include <algorithm>
#include <string>
#include <cstring>
#define MID(x,y) ((x+y)>>1)

using namespace std;
typedef __int64 LL;

LL gcd(LL a, LL b)
{
    return b?gcd(b,a%b):a;
}

bool fuck(LL A, LL B)     //判断B是不是包含A的所有质因子
{
    if (gcd(A, B)==1)
    {
        if (A==1)   return true;
        else return false;
    }
    else
        return fuck(A/gcd(A, B), B);
}

int main()
{
    //freopen("test.in","r+",stdin);

    int t, caseo = 1;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        printf("Case #%d: ", caseo ++);
        LL a,b;
        scanf("%I64d%I64d",&a,&b);
        if (fuck(a, b))
            printf("YES\n");
        else printf("NO\n");
    }
    return 0;
}