自己总结的……有错误的话请大牛指出~~毕竟自己对流和割的理解还不够……
【
性质1】
最小割中的边一定是满流边。
粗略证明：我们默认最大流最小割定理已经存在并被证明，那么有F[S,T] = f
max = C[S,T]。假设有某条边不是满流，即F
e < C
e，则易知必然存在某条边的F
e' > C
e' ，与网络流的流量限制条件矛盾。
【★
性质2】
若删掉或减小某条满流边的容量后最大流不减小，则该边一定不是最小割中的边。
粗略证明：根据最大流最小割定理可知f
max = C[S,T]。假设该边是某最小割中的边，那么 当删掉该边后，C[S, T]减小，而f
max不减小，则此时f
max > C[S, T]，与最大流最小割定理矛盾。
【
性质3】
满流边不一定可以是最小割中的边。
这里给出了一种情况，即
在残留网络中该满流边两端点连通，则这个边不能是最小割中的边。证明：如果我们令该边容量减少1，则两端点间减少的1个流可以通过另一条连通路流出，最大流不改变。根据
[性质2]，该边一定不是最小割中的边。
【★
性质4】
网络流的任意一条增广路至少经过一条最小割边。
证明：如果没有经过割边，则完全可以令这条增广路上的边的流量都无穷大oo（或者很大），则最大流f = oo，但是最小割容量C[S,T]却没变，导致f > C[S,T]，与最大流最小割定理矛盾。
【★
性质5】
若增加某条满流边的容量后，整个流网络的流量增加（不一定增加此值），那么该边一定是最小割上的边，即关键割边。
证明：假设该条边不是最小割边，那我们只增加该边容量，则最大流f增加，而最小割边容量C[S,T]不变，导致f > C[S, T]，与最大流最小割定理矛盾。
【求关键割边】对于某满流边，如果在残留网络中，源点能到达该边一端点，另一端点能到达汇点，则该满流边就是关键割边。因为一旦该边流量增加，则残留网络中将增加一条增广路，最大流便增加了。
容易发现其中大部分性质的证明都要根据
最大流最小割定理，所以正确理解此定理是非常重要的︿(￣︶￣)︽
性质应用：
BZOJ 1797 [AHOI 2009]Mincut 最小割，判断某个满流边是否可能是最小割边和一定是最小割边。