HDU 6148 （数位DP）

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题目大意：

众所周知，度度熊非常喜欢数字。

它最近发明了一种新的数字：Valley Number，像山谷一样的数字。

当一个数字，从左到右依次看过去数字没有出现先递增接着递减的“山峰”现象，就被称作 Valley Number。它可以递增，也可以递减，还可以先递减再递增。在递增或递减的过程中可以出现相等的情况。

比如，1，10，12，212，32122都是 Valley Number。

121，12331，21212则不是。

度度熊想知道不大于N的Valley Number数有多少。

注意，前导0是不合法的。

分析：

1、数位DP，很容易知道第一维表示的是 数位 ，第二维表示的是前一个数，而由于要记录斜率（即递增递减），所以要加入第三维，表示在当前数位之前，是递增还是递减或是没有（当且仅当有两个不同数时，才会有递增或递减）

2、前导零需要加入 lead 标记，然后根据样例，这题好像数字 0 也被认定为了前导零，故不需要加以判断为 0 的情况。

3、然后根据题意，如果该数位之前满足递增且当前数严格小于上一个数时，才 continue。

4、注意 lead==true 时，也是没有递增递减的，因为直到第一个非 0 数才开始计算。即当如果 lead==true 而此时数位上不为 0 时，则说明枚举的数字从该位开始，故可以与 pre==-1 合并在一起 （即一开始没有数字时，此时pre==-1 且 lead 也为 true）

代码如下：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<string.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod = (ll) 1000000007;
char s[108];
int t,n;
int a[108];
ll dp[108][12][3];
ll dfs(int pos,int pre,int k,bool lead,bool limit){ // 第 pos 位，前一个数为 pre，之前的数斜率为 k （k==0 未知，即只有一个数时；k==1，pre与之前的数递增；k==2，pre与之前的数递减）， lead 前导零标记，limit 位数限制标记
    if(pos==0) return lead?0:1;
    if(!limit&&dp[pos][pre][k]!=-1) return dp[pos][pre][k];　//记忆化搜索
    int up=limit?a[pos]:9;
    ll res=0;
    for(int i=0;i<=up;i++){
        if(k==1&&i<pre) continue;
        if(lead==true&&i==0) res=(res+dfs(pos-1,i,k,true,limit&&i==a[pos])%mod+mod)%mod;
        else if(lead) res=(res+dfs(pos-1,i,k,false,limit&&i==a[pos])%mod+mod)%mod;
        else if(i==pre) res=(res+dfs(pos-1,i,k,false,limit&&i==a[pos])%mod+mod)%mod;
        else res=(res+dfs(pos-1,i,(i<pre?2:1),false,limit&&i==a[pos])%mod+mod)%mod;
    }
    if(!limit) dp[pos][pre][k]=res;//记忆化
    return res;
}
int main()
{
    //freopen("test.in","r",stdin);
    //freopen("test.out","w",stdout);
    memset(dp,-1,sizeof(dp));
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%s",s);
        int len=strlen(s);
        for(int i=0;i<len;i++) a[len-i]=s[i]-'0';
        printf("%lld
",dfs(len,-1,0,true,true) );
    }
}