有了以上两个前置芝士就变成水题了。
设$f_s$表示s集合中的位置全变成1的期望次数
总集合全变为1的期望就是每一位变为1的期望的最大值
$f_{2^n-1}=max(f_{2^0},f_{2^2},f_{2^2},f_{2^3},…,f_{2^{n-1}})$
根据min_max容斥
$f_{2^n-1}=sum_{i=1}^{2^n-1}(-1)^{cnt[i]}g_i$
$g_s$表示s集合中的元素变成1的期望的最小值，也就是至少有一个变成1的期望
$p'_s=sum_{T igcap S= emptyset }p_T$
符号懒得找了，也就是T是S的补集的子集
故可FMT求出p'_s
$g_s= sum_{i=1}^{∞}i*(1-p'_s)^{i-1}*p'_s$
差分,等比数列求和得出
$g_s= frac{1}{p'_s}$