栈

【题目描述】

考虑这样一个问题，有一个1~n的操作数序列，栈的深度大于n。

现在可以进行以下两种操作：

(1)将一个数，从操作数序列的头端移到栈的头端；

(2)将一个数，从栈的头端移到输出序列的尾端；

使用这两种操作，由一个操作数序列就可以得到一系列的输出序列。

现在给定一个n，询问经过操作1~n操作数序列可能得到的输出序列的总数。

【输入描述】

输入一个整数n(1 ≤ n ≤ 18)。

【输出描述】

输出一个数，表示可能的输出序列的总数。

【样例输入】

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【样例输出】

5

【数据范围及提示】

样例解释：

源代码：

#include<cstdio>
int n;
long long ans=1; 
int main() //Catalan数。
{
    scanf("%d",&n);
    for (int a=1;a<=n;a++)
      ans=ans*(a*4-2)/(a+1);
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}

/*
    有必要详细地了解一下卡特兰数。
    先用一道题来引出卡特兰数：
        有10个高矮不同的人，排成两排，每排必须是从矮到高排列，而且第二排比对应的第一排的人高，问有多少种排列方式。
    解析：
        我们可以先把这10个人从低到高排列，选择5个人排在第一排，那么剩下的5个人肯定是在第二排。
        用0表示对应编号的人排在第一排，用1表示对应编号的人排在第二排，则含有5个0，5个1的序列，就对应一种方案。
        比如：0000011111 就对应着：
            第一排：0 1 2 3 4
            第二排：5 6 7 8 9
        比如：0101010101 就对应着：
            第一排：0 2 4 6 8
            第二排：1 3 5 7 9
        所以问题相应的转换为满足条件的01序列有多少个。
        观察规律，我们发现每个1的出现，前面必须有个相应的0，所以在从左到右的所有子序列中，0的个数总会大于等于1的个数。
        那么这种数列究竟有多少种排列方式呢？
        我们从左往右扫描，假设第一次出现1的个数等于0的个数是在第k位，那么在此之前，0的个数是大于1的个数的。在此之后，0的个数也是大于1的个数的，所以同理于进出栈问题。
        即：f(n)=f(0)*f(n-1)+f(1)*f(n-2)+···+f(n-1)*f(0)
    Catalan公式：（令f(0)=0，f(1)=1）
        (1)f(n)=f(0)*f(n-1)+f(1)*f(n-2)+···+f(n-1)*f(0)；
        (2)f(n)=C(2n,n)/(n+1)；
        (3)f(n)=C(2n,n)-C(2n,n-1)；
    拓展问题：
        (1)一个栈的进栈序列为1 2 3 ··· n，询问有多少个不同的出栈序列；
        (2)在一个凸多边形中，通过作出若干条互不相交的对角线，把这个多边形划分成若干个三角形，询问不同划分的方案数；
        (3)给定N个节点，询问能构成多少种不同的二叉搜索树。
*/