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异方差性

出处：

异方差性 - MBA智库百科
http://wiki.mbalib.com/wiki/%E5%BC%82%E6%96%B9%E5%B7%AE%E6%80%A7

异方差性（heteroscedasticity）

异方差性的定义^[1]

　　设线性回归模型为:

　　 $y_t=b_0+b_1x_{1t}+b_2x_{2t}+cdots+b_kx_{kt}+u_t$

　　经典回归中所谓同方差是指不同随机误差项 $u_t(t=1,2,cdots n)$ 的方差相同，即：

　　 $v a r (u t) = σ 2$

　　如果随机误差项的方差不是常数，则称随机项具有异方差性（heteroskedasticity），即:

　　 $var(u_t)=sigma^2 e$ 常数u_t(t=1,2,cdots n)

　　异方差性的几何直观表示形式，可借助观测值的散布图表示。以一元线性回归为例，在散布图上，就是样本残差平方 $e^2_t$ 随解释变量的变化而变化。

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产生异方差性的原因^[2]

　　在计量经济研究中，异方差性的产生原因主要有以下几种。

　　1.模型中遗漏了某些解释变量

　　如果模型中只包含所要研究的几个主要因素，其他被省略的因素对被解释变量的影响都归入了随机误差项，则可能使随机误差项产生异方差性。

　　例如，用截面数据研究消费函数，根据绝对收入消费原理，设消费函数为：

　　 $y t = b 0 + b 1 x 1 + u t$

　　其中： $y t 为家庭消费支出， x t 为家庭可支配收入。在该模型中，物价水平 P t 没有包括在解释变量中，但它对消费支出是有影响的，该影响因素却被放在随机误差项中。如果物价水平是影响消费的重要部分，则很可能使随机误差的方差变动呈现异方差性。另一方面如果用 x t / P t 只表示不同家庭收入组的数据来研究消费函数，则不同收入组在消费支出上的差异是不同的。高收入组的消费支出差异应该很大，而低收入组的消费支出差异就很小。不同收入的家庭其消费支出有不同的差异变化。$

　　再例如，用截面数据研究某一时点上不同地区的某类企业的生产函数，其模型为：

　　 $Y_t=AL_t^{alpha}K_t^{eta}e^{u_t}$

　　u为随机误差项，它包含了除资本K和劳动力L以外的其他因素对产出Y的影响，比如不同企业在设计上、生产工艺上的区别，技术熟练程度或管理上的差别以及其他因素，这些因素在小企业之间差别不大，而在大企业之间则相差很远，随机误差项随L、K增大而增大。由于不同的地区这些因素不同造成了对产出的影响出现差异，使得模型中的u具有异方差性，并且这种异方差性的表现是随资本和劳动力的增加而有规律变化的。

　　2.模型函数形式的设定误差

　　在一般情况下，解释变量与被解释变量之间的关系是比较复杂的非线性关系。在构造模型时，为了简化模型，用线性模型代替了非线性关系，或者用简单的非线性模型代替了复杂的非线性关系，造成了模型关系不准确的误差。如将指数曲线模型误设成了线性模型，则误差有增大的趋势。

　　3.样本数据的测量误差

　　一方面，样本数据的测量误差常随时间的推移而逐步积累，从而会引起随机误差项的方差增加。另一方面，随着时间的推移，抽样技术和其他收集资料方法的改进，也使得样本的测量误差逐步减少，从而引起随机误差的方差减小。因此，在时间序列资料中，由于在不同时期测量误差的大小不同，从而随机项就不具有同方差性。

　　4.随机因素的影响

　　经济变量本身受很多随机因素影响(比如政策变动、自然灾害或金融危机等)，不具有确定性和重复性，同时，社会经济问题涉及人的思维和行为，也涉及各阶层的物质利益，人的行为具有很多不确定因素。

　　因此，经济分析中经常会遇到异方差性的问题。而且经验表明，利用横截面数据建立模型时，由于在不同样本点上(解释变量之外)其他因素影响的差异较大，所以比时间序列资料更容易产生异方差性。

　　在实际经济计量分析中，绝对严格的同方差性几乎是不可能的，异方差性可以说是一种普遍的现象。

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异方差性的影响^[1]

　　1.对模型参数估计值无偏性的影响

　　以一元线性回归模型为例。设一元线性回归模型为 $var(u_t)=sigma^2_t$

　　由此可见，随机误差项存在异方差性，并不影响模型参数最小二乘估计值的无偏性。

　　2.对模型参数估计值有效性的影响

　　在上述假定下参数 $widehat{b}_1$

　　 $var(widehat{b}_1)=var(b_1+sum k_tu_t)=sum k_t^2var(u_t)$

　　在随机误差项 $widehat{b}_1$

　　 $var(widehat{b}_1)=sum k_t^2sigma^2=sigma^2sum k_t^2=frac{sigma^2}{sum(x_t-overline{x})^2}$

　　在随机误差项 $widehat{b}_1^*$

　　 $var(widehat{b}_1^*)=sum k_t^2sigma^2=sigma^2sum lambda_t k_t^2=sigma^2sum k_t^2cdotfrac{sum lambda_t k_t^2}{sum k_t^2}=var(widehat{b_1})cdotfrac{sum lambda_t k_t^2}{sum k_t^2}$

　　比较上式两端，当 $frac{sum lambda_t k_t^2}{sum k_t^2}>1$ 时，有 $var(widehat{b}_1^*)>var(widehat{b}_1)$

　　从而说明在随机误差项 $widehat{b}_1$

　　由此可见，当线性回归模型的随机误差项存在异方差时，参数的最小二乘估计量不是一个有效的估计量。

　　3.对模型参数估计值显著性检验的影响

　　在同方差的情况下，如果以 $widehat{sigma}^2=frac{sum e_t^2}{n-2}$

　　 $s(widehat{b}_1)=sqrt{sum k_t^2widehat{sigma}^2}=sqrt{frac{widehat{sigma}^2}{sum(x_t-overline{x})^2}}$

　　但是，在异方差的情况下， $sigma^2_t$ 是一些不同的数值，只有估计出每一个 $sigma^2_t$ 之后才能得到系数的标准误差，这在只有一组样本观测值的情况下是无法做到的。而且如果设 $sigma^2_t=lambda_twidehat{sigma}^2(lambda_t>0t=1,2,cdots n)$ ，则在异方差的情况下，系数的标准误差：

　　 $s(widehat{b}_1^*)=sqrt{sum k_t^2widehat{sigma}^2_t}=sqrt{sqrt{sum k_t^2lambda_twidehat{sigma}^2}}=sqrt{sum k_t^2widehat{sigma}^2}sqrt{frac{sumlambda_tk^2_t}{sum k_t^2}}=s(widehat{b}_1)cdotsqrt{frac{sumlambda_tk^2_t}{sum k_t^2}}$

　　因此，如果仍然用 $s(widehat{b}_1)$ 计算系数的标准误差，将会产生估计偏差，偏差的大小取决于第二个因子值 $frac{sumlambda_tk^2_t}{sum k_t^2}$ 的大小，当其大于1时，则会过低估计系数的误差；反之，则做出了过高的估计。因而，检验的可靠性降低。

　　在异方差情况下，无法正确估计系数的标准误差 $s(widehat{b}_1)$ ，用t统计量为 $t(widehat{b}_1)=frac{widehat{b}_1}{s(widehat{b}_1)}$ 来判断解释变量影响的显著性将失去意义。

每天进步一点点；不为琐事困扰，每日岁月静好。

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