这里是Agakiss的数论学习笔记
数论函数
定义域为(N^{*})，值域是一个数集的函数
以下数论函数皆用粗体英文字母((mathbf f、mathbf g、mathbf t))或希腊字母((mu、varphi))表示
基本数论函数
1.欧拉函数：
令(k)为(x)的质因数的个数，则(x=prod^{k}_{i=1}pi^{ci})
[varphi(x)=xastprod^{k}_{i=1}(1-frac{1}{p_i})
]
2.幺元函数：
[epsilon(x)=[x=1]
]
3.常函数1(one)：
[mathbf 1(x)=1
]
[mathbf{one}(x)=1
]
4.标号函数：
[mathbf{id}(x)=x
]
5.除数函数：
[sigma_k(x)=sum_{d|x}d^{k}
]
[sigma(x,k)=sum_{d|x}d^{k}
]
当k=0时，该函数表示x的正因子个数
当k=1时，该函数表示x的正因子之和
运算法则：
函数相加：
[(mathbf f+mathbf g)(n)=mathbf f(n)+mathbf g(n)
]
数乘：
[(xmathbf f)(n)=xcdotmathbf f(n)
]
狄利克雷卷积
[mathbf t=mathbf fastmathbf g
]
[mathbf t(n)=sum_{i|n}mathbf f(i)mathbf g(frac{n}{i})
]
[mathbf t(n)=sum_{ij=n}mathbf f(i)mathbf g(j)
]
狄利克雷卷积的性质：
1.交换律：
[mathbf fastmathbf g=mathbf gastmathbf f
]
2.结合律：
[(mathbf fastmathbf g)astmathbf h=mathbf fast(mathbf gastmathbf h)
]
3.分配律：
[(mathbf f+mathbf g)astmathbf h=mathbf fastmathbf h+mathbf gastmathbf h
]
4.与数的结合律：
[(xmathbf f)astmathbf g=x(mathbf fastmathbf g)
]
5.单位元：
[epsilonastmathbf f=mathbf f
]
6.逆元：
对于每个(mathbf f(1)
eq0)的函数，都存在一个函数(mathbf g)使得(mathbf fastmathbf g=epsilon)
定义：
[mathbf g(n)=frac{1}{mathbf f(1)}left([n=1]-sum_{i|n,i
eq1}mathbf f(i)mathbf g(frac{n}{i})
ight)
]
积性函数：
定义：
如果一个数论函数(mathbf f)满足：当(nperp m)时有
[f(nm)=f(n)f(m)
]
常见的积性函数：
[epsilon(n)=[n=1].
]
[mathbf{id}(n)=n.
]
[mathbf{id}^k(n)=n^k.
]
[mathbf1(n)=mathbf{id}^0=1.
]
[varphi(x)=xastprod^{k}_{i=1}(1-frac{1}{p_n})
]
两个重要结论：
[两个积性函数的狄利克雷卷积是积性函数
]
[积性函数的逆是积性函数
]
小技巧：
线筛积性函数不多做讲解，只讲两个有用的推论：
[sigma_0(p^k)=k+1
]
[varphi(p^k)=p^{k-1}(p-1)
]
1个推论：
因为(varphi、mathbf 1)都是积性函数，所以显然((varphiastmathbf 1))也是积性函数，所以我们只用考虑(p^k)时的取值，于是推导得知：
[(varphiastmathbf 1)(p^k)=p^k
]
显然我们可以得到：
[mathbf{id}=varphiastmathbf 1
]
莫比乌斯反演：
莫比乌斯函数的定义：
[mathbf 1的逆是mu
]
求莫比乌斯函数：
再(p^k)的时候：
[mu(p^k)=
egin{cases}
1&k=0 \
-1&k=0 \
0=&k>1
end{cases}
]
推广到(n)：
[mu(n)=
egin{cases}
(-1)^t&n=prod^{t}_{i=1}{p_t}\
0&n
eqprod^{t}_{i=1}{p_t}
end{cases}
]
莫比乌斯反演：
根据定义，如果：
[mathbf g=mathbf fastmathbf 1Longleftrightarrowmathbf f=mathbf fastmathbf1astmu=mathbf gastmu
]
将狄利克雷卷积展开，得到：
[mathbf g(n)=sum_{d|n}f(d)Longleftrightarrowmathbf f(n)=sum_{d|n}mu(frac{n}{d})g(d)
]
另一种证明：
引理：
[mathbf{id}^k的逆是mathbf t(n)=mu(n)n^k
]
设：
[mathbf g(n)=sum_{d|n}(frac{n}{d})^kmathbf f(d)
]
换个方式表示一下：
[mathbf g(n)=sum_{d|n}mathbf{id}^k(frac{n}{d})mathbf f(d)
]
反演一下：
[mathbf f(n)=sum_{d|n}mu(frac{n}{d})(frac{n}{d})^kmathbf g(d)
]
举个栗子：(varphi=muastmathbf{id})，我们就可以得到：
[varphi(n)=sum_{d|n}mu(frac{n}{d})d
]
数论分块：
目标：
在已知所有(sum^{r}_{i=l}f(i))的情况下，用(O(sqrt{n}))的复杂度下，求出：
[sum^{n}_{i=1}f(i)lfloorfrac{n}{i}
floor
]
实现：
引理：
[lfloorfrac{n}{i}
floor的取值只有sqrt{n}种
]
然后，一个结论：
[如果lfloorfrac{n}{i}
floor是一种取值，那么使lfloorfrac{n}{i}
floor=lfloorfrac{n}{j}
floor的j的最大取值为lfloorfrac{n}{lfloorfrac{n}{i}
floor}
floor
]
所以附一下代码（其中(Sum)表示(sum^{r}_{i=l}f(i))）：
int ans = 0;
for (register int i = 1; i <= n; i = j + 1) {
int j = n / (n / i);
ans += (n / i) * Sum(i, j);
}
扩展：
如果在已知所有(sum^{r}_{i=l}f(i))的情况下，用(O(sqrt{n}))的复杂度下，求的是：
[sum^{min(n,m)}_{i=1}f(i)lfloorfrac{n}{i}
floorlfloorfrac{m}{i}
floor
]
我们其实只需要稍微改一下，
令每次(j=min(lfloorfrac{n}{lfloorfrac{n}{i}
floor}
floor,lfloorfrac{m}{lfloorfrac{m}{j}
floor}
floor))即可，
再附一下代码（其中(Sum)表示(sum^{r}_{i=l}f(i))）：
int ans = 0;
for (register int i = 1; i <= min(n, m); i = j + 1) {
int j = min(n / (n / i), m / (m / i));
ans += (n / i) * (m / i) * Sum(i, j);
}
数论函数的关系（总结）：
[varphi=muastmathbf{id}
]
[mathbf{id}=varphiastmathbf1
]
[epsilon=muastmathbf1
]
杜教筛：
思路1.0：
如果给定函数(mathbf f,mathbf g)，令(mathbf S(n)=sum^n_{i=1}mathbf f(i)))，则有：
[sum^{n}_{i=1}(mathbf fastmathbf g)(i)=sum^{n}_{i=1}{sum_{xy=i}{mathbf f(x)mathbf g(y)}}=sum^{n}_{y=1}mathbf g(y)sum_{xyleq n}mathbf f(x)=sum^{n}_{y=1}mathbf g(y)mathbf S(lfloorfrac{n}{y}
floor)
]
将第一个和最后一个移项，得：
[mathbf g(1)mathbf S(n)=sum^{n}_{i=1}(mathbf fastmathbf g)(i)-sum^{n}_{y=2}mathbf g(y)astmathbf S(lfloorfrac{n}{y}
floor)
]
看到后半个式子感觉很能数论分块，于是我们有了一个很伪的求(mathbf S)的方法，
假设((mathbf fastmathbf g)(i))的前缀和与(mathbf g(i))的区间和都可以非常快（比如(O(1))）计算，
那么，我们得到了如下伪代码：
int S(int n) {
int ans = 0;
for (register int i = 1; i <= n; i++)
ans += (f * g)(i);
for (register int i = 2; i <= n; i = j + 1) {
j = n / (n / i);
ans -= Sg(i, j) * S(n / i);
}
ans /= g(1);
return ans;
}
//感性理解一下
思路2.0：
现在，我们来继续考虑如何更好的优化它，
引理：
[对于任意正整数x,y,z,有lfloorfrac{lfloorfrac{z}{x}
floor}{y}
floor=lfloorfrac{z}{xy}
floor
]
于是，我们有了新的优化方法，
显然，当我们在某一次计算(mathbf S(N))时，必然某一次会计算(lfloorfrac{N}{x}
floor)，那么必然再某一次会计算(lfloorfrac{lfloorfrac{N}{x}
floor}{y}
floor),那么(lfloorfrac{N}{xy}
floor),
是不是发现很神奇！
我们如果用记忆化存下(mathbf S(lfloorfrac{N}{xy}
floor))的值，
通过数论分块的知识我们可以知道，(lfloorfrac{N}{i}
floor)只有(sqrt{N})种取值，
所以求一次(mathbf S(N))的，只有(sqrt{N})次递归调用，
烂尾待更
参考：
[1].铃悬的数学小讲堂——狄利克雷卷积与莫比乌斯反演
[2].-扶苏-数论进阶-常见数论函数
[3].铃悬的数学小讲堂——杜教筛