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  • 递归法----整数划分问题

    问题描述:将正整数n划分成一系列正整数之和,输出n的全部划分个数。 例如6有11种划分。

      • 6;
      • 5+1;
      • 4+2, 4+1+1;
      • 3+3, 3+2+1, 3+1+1+1;
      • 2+2+2, 2+2+1+1, 2+1+1+1+1;
      • 1+1+1+1+1+1;

    算法分析:在正整数n的所有不同划分中,将最大加数n1不大于m的划分个数记做q(n,m)。可以建立q(n,m)的如下递归关系。

    (1)q(n,1) = 1, n>=1 ,当最大加数为1时,任何正整数n都只有一种划分形式,即n=1+1+...+1.

    (2)q(1,m)= 1,只有一种拆分方法。1

    (3)q(n,m)=q(n,n),m>=n,因为最大加数不能大于被拆分数

    (4)q(n,n) =1+q(n,n-1)。正整数n的划分由n1 = n 的划分和n1<=n-1的划分组成

    (5)q(n,m)=q(n,m-1)+q(n-m,m),n>m>1.正整数n的最大加数n1不大于m的划分由n1=m的划分和n1<=m-1的划分组成。(自行尝试几个简单例子便很容易理解)

    以上的关系实际上给出了q(n,m)的递归式

    • 1                                    n=1,m=1
    • q(n,n)                             n<m
    • 1+q(n,n-1)                     n=m
    • q(n,m-1)+q(n-m,m)       n>m>1
     1 import java.util.Scanner;
     2 
     3 /**
     4  * 输出正整数的全部拆分总数
     5  * @author AganRun
     6  */
     7 public class NumSplit {
     8 
     9     public static void main(String[] args){
    10         
    11         Scanner scan = new Scanner(System.in);    //输入待拆分正整数n
    12         int n = scan.nextInt();
    13         System.out.println(n + "的拆分方式有" + q(n,n) + "种");
    14         
    15     }
    16     
    17     //将正整数n以最大拆分数m的拆分情况总数
    18     public static int q(int n, int m){
    19     
    20         if((n<1) || (m<1)) return 0;    //分情况讨论,同算法分析中的处理方式
    21         if((n==1) || (m==1)) return 1;
    22         if( n<m ) return q(n,n);
    23         if( n==m ) return 1+q(n,n-1);
    24         return q(n,m-1)+q(n-m,m);
    25         
    26     }
    27     
    28 }

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/AganRun/p/6602197.html
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