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  • 【算法】快速幂运算

    在计算 x时,我们会怎么算呢?如果只是x * x * x * ... * x 这样每个数乘起来计算 n 次的的话,虽然算法简单,但是复杂度为 O(n) ,往往不能满足要求。让我们来考虑加速幂运算的方法。

    如果 n = 2k ,可以将其表示为  xn = ((x2)2)... ,只要做 k 次平方运算就可以轻松求得。由此我们想到,先将 n 表示为2的幂次的和 n = 2k1 + 2k2 + 2k3 + ... ,就有 xn = x2^k1 x2^k2 x2^k3 ... ,只要在依次求 x2^i 的同时计算就好了,最终得到了 O(logn) 计算幂运算的算法。比如计算x22,可以把 x22 表示为 x* x4 * x16 (22转成二进制是10110)。在进行幂运算时,往往因为结果数字过大,而让我们输出取余后的结果。下面是一段参考代码:

     1 typedef long long ll;
     2 
     3 ll mod_pow(ll x,ll n,ll mod){
     4     ll res = 1;
     5     while(n>0){
     6         if(n&1) res = res * x % mod;  //如果二进制最低位为1,则乘上x^(2^i)
     7         x = x * x % mod;  //将x平方
     8         n >>= 1;
     9     }
    10     return res;
    11 }

    代码还是很容易理解的,先把n转化成二进制表示,然后每一位开始依次计算。如果二进制最低位为1,那么就将结果乘上x2^i ( i 的值取决于现在算到哪一位,如果是第0位则 i = 0)。每次将x平方,然后将n右移一位,继续下一位的计算。比如计算x22,就先把22转化成10110,最低位是0,res不变,x变成x2,右移变成1011;最低位是1,res乘上x2,x2再变为x4(也就是x2^2),右移变成101;最低位是1,res乘上x4,x4再变为x8,右移变成10……依次类推,最终结果也就是res = x* x4 * x16(此处没有考虑取余)。

    ---------------------------------------------下面是另一种思路。--------------------------------------------------------------

    当n为偶数时有 xn = ((x2)(n/2)) ,递归转为n/2的情况;n为奇数时有 xn = ((x2)(n/2)) * x ,同样也递归转为 n/2 的情况。这样不断递归下去,每次n都减半,于是可以在O(logn)时间内完成幂运算。这个比第一种似乎更容易想到也更易理解,下面给出代码:

     1 typedef long long ll;
     2 
     3 ll mod_pow(ll x,ll n,ll mod){
     4     if(n == 0) return 1;
     5     if(n == 1) return  x % mod;
     6     ll res = mod_pow(x * x % mod, n / 2, mod);
     7     if(n & 1)
     8         res = res * x % mod;
     9     return res;
    10 }

    还有一种非常类似的,f(x,n) = xn,x为奇数那么f(x,n) = f(x,n/2) * f(x,n/2) *x,x为偶数那么f(x,n) = f(x,n/2) * f(x,n/2)。

    1 ll f(int x,int n){
    2     if(n==0) return 1;
    3     if(n==1) return x;
    4     if(n&1) return f(x,n>>1)*f(x,n>>1)*x;  //如果n是奇数
    5     else return f(x,n>>1)*f(x,n>>1);   //如果n是偶数
    6 }
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/Aikoin/p/10176458.html
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