[学习笔记]数论(一)

扩展欧几里得

求二元一次不定方程的一组解。

当时，有一组解 ；

当时，因为 ，

所以设满足,

则 ,

整理得 。

所以。

就可以在求gcd的过程中得到一组解。

inline int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
    if(!b){
        x=1;y=0;return a;
    }
    else{
        int ret=exgcd(b,a%b,y,x);
        y-=a/b*x;return ret;
    }
}

欧拉函数

欧拉函数的定义：小于等于的正整数中与互质的数的个数。

当时，；

当时，可以写成个素数的幂的积的形式,第个素数的质数为:

根据容斥原理得，。

简单地推一下后发现，。

BSGS

求最小的使得为质数。

令 ，则，即。

将所有的用存起来，从小到大枚举，直到是某个，

此时答案为。

由费马小定理可得，，所以 ,

   所以可以用快速幂实现除法(时会有)。

typedef long long ll; 
map<ll,ll> m;
inline ll po(ll x,ll k,ll p){
    ll ret=1;
    while(k){
        if(k&1) ret=ret*x%p;
        x=x*x%p;k>>=1;
    }
    return ret;
}
inline ll bsgs(ll a,ll b,ll p){ 

if(gcd(a,p)!=1) 

        if(b) return -1;
        else return 1;

    ll s=sqrt(p),k=1,x=1,y;
    while(s*s<=p) ++s;
    for(ll i=0;i<s;++i){
        if(!m[k]) m[k]=i;

        k=k*a%p;
    }
    for(ll i=0;i<s;++i){
        y=b*po(x,p-2,p)%p;
        if(m.count(y))
            return i*s+m[y];
        x=x*k%p;
    }
    return -1;
}