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[学习笔记]线性筛

素数

欧拉筛法保证每个合数只会被其最小的素数筛掉，所以复杂度是线性的。

我们还能用此方法，筛出其他一些积性函数的值。

积性函数:若 $(a,b)=1$ ,则 $f(ab)=f(a); imes;f(b)$ .

int p[N],n,cnt;
bool b[N];
inline void prime(){
    b[0]=b[1]=true;
    for(int i=2;i<=n;++i){
        if(!b[i]) p[++cnt]=i;
        for(int j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=n;++j){
            b[i*p[j]]=true;
            if(!(i%p[j])) break;
        }        
    }
}

每次 $p[j]|i$ 时跳出循环能保证每个合数只会被其最小的素数筛掉，因为 $i$ imes$p[k](k>j)$ 的最小素数为 $p[j]$ 。

欧拉函数

欧拉函数 $$phi(x)$ 的定义：小于等于 $x$ 的正整数中与 $x$ 互质的数的个数。

$phi(x)=egin{cases}1&x=1\x-1&x;is;prime\ xprod_{i=1}^{k}(frac{p_{i}-1}{p_{i}})&x=p_1^{a_1}$ imes$p_2^{a_2}$ imesdots imes$p_k^{a_k}\end{cases}$

证明:

如果 $n$ 为某一素数 $p$ ，则 $phi(p)=p-1$ .

如果 $n$ 为某一素数 $p$ 的幂次 $p^a$ ， $phi(p^a)=(p-1); imes;p^{a-1}$ .

欧拉函数是积性函数，即当 $(a,b)=1$ 时 $f(ab)=f(a); imes;f(b)$ .

若 $x=p_1^{a_1}$ imes$p_2^{a_2}$ imesdots imes$p_k^{a_k}$ ,

则 $phi(x)=prod_{i=1}^{k}(p_i-1); imes;p_i^{a_i-1}=xprod_{i=1}^{k}frac{p_i-1}{p_i}$ .

设 $p$ 为 $x$ 最小的质数， $x'=x/p$ ，在线性筛中， $x$ 被筛 $p$ imes$x'$ 掉。

当 $x';mod;p ot=0$ 时， $phi(x)=p$ imes$x' imes(frac{p-1}{p})prod_{i=1}^{k'}(frac{p_{i}-1}{p_{i}})=(p-1) imesphi(x')$ ；

当 $x';mod;p=0$ 时， $phi(x)=p$ imes$x' imesprod_{i=1}^{k'}(frac{p_{i}-1}{p_{i}})=p imesphi(x')$ 。

int p[N],phi[N],n,cnt;
bool b[N];
inline void prime(){
    b[0]=b[1]=true;phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;++i){
        if(!b[i]){
            p[++cnt]=i;phi[i]=i-1;
        }
        for(int j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=n;++j){
            b[i*p[j]]=true;
            if(!(i%p[j])){
                phi[i*p[j]]=p[j]*phi[i];break;
            }
            phi[i*p[j]]=(p[j]-1)*phi[i];
        }        
    }
}

莫比乌斯函数

莫比乌斯函数 $mu(x)$ 的定义：

$mu(x)=egin{cases}1&x=1\ (-1)^{k}&x=p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}};dots;p_{k}^{a_{k}}(a_{i}=1)\ 0&x=p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}};dots;p_{k}^{a_{k}}(max{a_{i}}>1)end{cases}$

显然当 $x$ 是质数时， $mu(x)=-1$ ；

当 $x$ 不是质数时，设 $p$ 为 $x$ 最小的质数， $x'=x/p$ ，在线性筛中， $x$ 被筛 $p$ imes$x'$ 掉。

当 $x';mod;p ot=0$ 时，当 $mu(x') ot=0$ 时，显然 $a_{i}=1$ ， $mu(x)=-mu(x')$ ；

当 $mu(x')=0$ 时， $mu(x)=0$ ,即 $mu(x)=-mu(x')$ ；

当 $x';mod;p=0$ 时，显然 $max{a_{i}}>1$ ， $mu(x)=0$ 。

int p[N],mu[N],n,cnt;
bool b[N];
inline void prime(){
    b[0]=b[1]=true;mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;++i){
        if(!b[i]){
            p[++cnt]=i;mu[i]=-1;
        }
        for(int j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=n;++j){
            b[i*p[j]]=true;
            if(!(i%p[j])){
                mu[i*p[j]]=0;break;
            }
            mu[i*p[j]]=-mu[i];
        }        
    }
}

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原文地址：https://www.cnblogs.com/AireenYe/p/5821028.html