[学习笔记]线性筛

素数

欧拉筛法保证每个合数只会被其最小的素数筛掉，所以复杂度是线性的。

我们还能用此方法，筛出其他一些积性函数的值。

积性函数:若,则.

int p[N],n,cnt;
bool b[N];
inline void prime(){
    b[0]=b[1]=true;
    for(int i=2;i<=n;++i){
        if(!b[i]) p[++cnt]=i;
        for(int j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=n;++j){
            b[i*p[j]]=true;
            if(!(i%p[j])) break;
        }        
    }
}

每次时跳出循环能保证每个合数只会被其最小的素数筛掉，因为的最小素数为。

欧拉函数

欧拉函数的定义：小于等于的正整数中与互质的数的个数。

证明:

• 如果为某一素数，则.
• 如果为某一素数的幂次，.
• 欧拉函数是积性函数，即当时.
• 若,

  则.

设为最小的质数，，在线性筛中，被筛掉。

当时，；

当时，。

int p[N],phi[N],n,cnt;
bool b[N];
inline void prime(){
    b[0]=b[1]=true;phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;++i){
        if(!b[i]){
            p[++cnt]=i;phi[i]=i-1;
        }
        for(int j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=n;++j){
            b[i*p[j]]=true;
            if(!(i%p[j])){
                phi[i*p[j]]=p[j]*phi[i];break;
            }
            phi[i*p[j]]=(p[j]-1)*phi[i];
        }        
    }
}

莫比乌斯函数

莫比乌斯函数的定义：

显然当是质数时，；

当不是质数时，设为最小的质数，，在线性筛中，被筛掉。

当时，当时，显然，；

               当时，,即；

当时，显然，。

int p[N],mu[N],n,cnt;
bool b[N];
inline void prime(){
    b[0]=b[1]=true;mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;++i){
        if(!b[i]){
            p[++cnt]=i;mu[i]=-1;
        }
        for(int j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=n;++j){
            b[i*p[j]]=true;
            if(!(i%p[j])){
                mu[i*p[j]]=0;break;
            }
            mu[i*p[j]]=-mu[i];
        }        
    }
}