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[学习笔记]半平面交

半平面

定义

平面的一半(一直线将平面分成两部分,每个部分称之为半平面).

表示

$ax+by+c;geq;0,ax+by+c<0$.

半平面交

半平面的交集,即不等式组的解集.可用于解决多边形核的问题.

实现

将半平面按极角排序(靠近法向量方向的半平面更小)
双端队列维护半平面交:顺序加入半平面,当队尾的2个半平面的交点在当前半平面外，删除队尾的半平面;当队头的2个半平面的交点在当前半平面外，删除队头的半平面.

$P.S.$形如$ax+by+c;geq;0$的方程组的解$A(x,y)$满足条件$overrightarrow{BA}; imes;overrightarrow{BC};geq;0(B,C;in;ax+by+c=0)$($ax+by+c<0$反之)

typedef long double ld;
struct point{
    ld x,y;
}p[N];
struct line{
    point s,e;int n;ld an;
}l[N],a[N],q[N];
int n,m,h,t,lef,rig,mid,cnt;
inline point dec(point x,point y){
    return (point){x.x-y.x,x.y-y.y};
}
inline ld mult(point x,point y){
    return x.x*y.y-x.y*y.x;
}
inline bool cmp(line x,line y){
    if(x.an==y.an) return mult(dec(x.e,x.s),dec(y.s,x.s))>0;
    return x.an<y.an;
}
inline point inter(line a,line b){
    ld s1,s2,t;point ret;
    s1=mult(dec(b.e,a.s),dec(a.e,a.s));
    s2=mult(dec(a.e,a.s),dec(b.s,a.s));
    t=s2/(s1+s2);
    ret.x=b.s.x+(b.e.x-b.s.x)*t;
    ret.y=b.s.y+(b.e.y-b.s.y)*t;
    return ret;
}
inline bool chk(line x,line y,line z){
    point a=inter(x,y);
    return mult(dec(a,z.s),dec(z.e,z.s))>0;
}
inline bool hpi(int k){
    cnt=0;
    for(int i=1;i<=m;++i)
        if(l[i].n<=k){
            if(!cnt||l[i].an!=a[cnt].an) ++cnt;
            a[cnt]=l[i];
        }
    h=1;t=0;
    for(int i=1;i<=cnt;++i){
        while(h<t&&chk(q[t],q[t-1],a[i])) --t;
        while(h<t&&chk(q[h],q[h+1],a[i])) ++h;
        q[++t]=a[i];
    }
    while(h<t&&chk(q[t],q[t-1],q[h])) --t;
    while(h<t&&chk(q[h],q[h+1],q[t])) ++h;
    return t-h+1>=3;
}