[学习笔记]lca倍增

求一棵树上两个节点的最近公共祖先有两种算法:

1. \(tarjan\)(离线);
2. 倍增(在线).

这篇博文只介绍倍增的写法.

\(f[i][j]\)表示节点\(i\)的祖先中,与节点\(i\)距离为\(2^j\)的节点编号.

那么\(f[i][j]=\begin{cases}root&i=root\\ father[i]&j=0,i\not=root\\ f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1]&j>0,i\not=root\end{cases}\)

每次查询两个节点\(x,y\)的\(lca\)时,现将深度深的点向上移,直到两个点的深度一样.

接下来就重复以下工作,直到存在\(f[x][0]=f[y][0]\):

找到最小的\(i\)使得\(f[x][i]=f[y][i]\),如果\(i>0\),则令\(x=f[x][i-1],y=f[y][i-1]\).

(这样的话能保证找到\(lca\),因为\(f[x][i]\)为公共祖先,\(f[x][i-1]\)不是公共祖先,那么\(lca\)会在\(father[f[x][i-1]]\)到\(father[f[y][i-1]]\)的路径上,所以需要退一级寻找.)

#include<cmath>
#include<queue>
#include<stack>
#include<cstdio>
#include<vector> 
#include<string>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define K 20
#define N 10005
#define M 100005
using namespace std;
struct graph{
    int nxt,to;
}e[M];
int f[N][K],g[N],dep[N],m,n,q,cnt;
stack<int> s;
inline void addedge(int x,int y){
    e[++cnt].nxt=g[x];g[x]=cnt;e[cnt].to=y;
}
inline void dfs(int u){
    dep[u]=1;s.push(u);
    while(!s.empty()){
        u=s.top();s.pop();
        if(u!=1) for(int i=1;i<K;++i)
                f[u][i]=f[f[u][i-1]][i-1];
        else for(int i=0;i<K;++i)
            f[u][i]=u;
        for(int i=g[u];i;i=e[i].nxt){
            if(!dep[e[i].to]){
                dep[e[i].to]=dep[u]+1;
                f[e[i].to][0]=u;
                s.push(e[i].to);
            }
        }
    }
}
inline int swim(int x,int h){
    for(int i=0;h;++i,h>>=1)
        if(h&1) x=f[x][i];
    return x;
}
inline int lca(int x,int y){
    if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
    x=swim(x,dep[x]-dep[y]);
    if(x==y) return x;
    int i=K-1;
    while(true){
        if(f[x][0]==f[y][0]) return f[x][0];
        for(;f[x][i]==f[y][i];--i);
        x=f[x][i];y=f[y][i];
    }
}
inline void init(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1,j,k;i<=m;++i){
        scanf("%d%d",&j,&k);
        addedge(j,k);addedge(k,j);
    }
    scanf("%d",&q);dfs(1);
    for(int i=1,j,k;i<=q;i++){
        scanf("%d%d",&j,&k);
        printf("%d\n",lca(j,k));
    }
}
int main(){
    freopen("lca.in","r",stdin);
    freopen("lca.out","w",stdout);
    init();
    fclose(stdin);
    fclose(stdout);
    return 0;
}