离散化

离散化

问题模型

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离散化是指对于数据范围较大（1e9）,但数的个数较少（1e5）的一些数进行操作（并查集等）时，需要通过比较这些数的相对大小，将其离散化，得到"1e5"以内的“离散化数值”，然后就可以将其储存在数组中，进行并查集等操作了。

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实现原理

当离散化的数据无重复时，可以通过记录数组下标，直接在结构体内进行排序等操作

update 于2019.8.15

bool cmp(int x,int y)
{
    return a[x]>a[y];
}
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
    scanf("%d",&a[i]);b[i]=i;
}
sort(b+1,b+n+1,cmp);
for(int i=1;i<=n;i++)
    rank[b[i]]=i;

当离散化的数据存在重复时，可以通过先排序（nlogn)，再去重（因排序后数据有序，故复杂度从O(n^2)降到O(n),最后通过二分查找到数据的相对大小(离散化后的值)。

代码实现

数据无重复（略）

数据有重复：

    int tot=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d%d",&a[i].a1,&a[i].a2);san[++tot]=a[i].a1;san[++tot]=a[i].a2;
    }
    sort(san+1,san+tot+1,cmp1);
    m=unique(san+1,san+tot+1)-(san+1);//m表示去重后的数值大小,unique并未删除数据,只是将数据放在了数组末尾，因数据有序，复杂度为O(n)
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        a[i].a1=query(a[i].a1);//query:二分查找（表示不会lower_bound,upper_bound，只能手打）
        a[i].a2=query(a[i].a2);
    }

例题

洛谷P1439 [模板]最长公共子序列

解析：看似是道裸LCS，观察数据后发现n<=100000，n^2过不了，只能nlogn过。其实这道题因为排列的性质，可以通过离散化，将问题转化为LIS，再加个LIS的优化就能过了。举个栗子吧：样例中的3 2 1 4 5分别被赋予1 2 3 4 5的离散化值，1 2 3 4 5对应的离散化值就为3 2 1 4 5，然后再求3 2 1 4 5的LIS，即1 4 5，则最长公共子序列的长度为3。正确性证明：离散化值如果递增，则再原排列中所在位置也单调递增。如果是求最长下降子序列，则再原排列中的位置是逆序的，不符合题意。

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
#define Maxn 100100
int n;
int a[Maxn],b[Maxn];
int po[Maxn],situ[Maxn];
int dp[Maxn];
int h[Maxn];
int maxx=1;
int query(int x)
{
    int l=0,r=maxx;int ans=0;
    while(l<=r)
    {
        int mid=(l+r)>>1;
        if(h[mid]<=x)
        {
            ans=mid;l=mid+1;
        }
        else r=mid-1;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]),po[a[i]]=i;
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&b[i]),situ[i]=po[b[i]];
    h[0]=-2e9;h[1]=situ[1];dp[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)h[i]=2e9;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        int tmp=query(situ[i]);
        if(tmp==maxx){maxx++;h[maxx]=situ[i];dp[i]=maxx;}
        else{h[tmp+1]=min(h[tmp+1],situ[i]);dp[i]=tmp+1;}
    }
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)ans=max(ans,dp[i]);
    printf("%d",ans);
    return 0;
}

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[NOI2015]程序自动分析（做过的最水的一道NOI题目）

解析：并查集+数据存在重复的离散化

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define Maxn 1000100
int n;
struct node{
   int a1,a2,com;
}a[Maxn];
int san[Maxn*2];int tot=0;int m;
int query(int x)
{
    int l=1,r=m;int ans=0;
    while(l<=r)
    {
        int mid=(l+r)>>1;
        if(san[mid]>=x)
        {
            ans=mid;r=mid-1;
        }
        else l=mid+1;
    }
    return ans;
}
bool cmp1(int x,int y){return x<y;}
bool cmp2(node x,node y){return x.com>y.com;}
int fa[Maxn*2];
int find_fa(int x)
{
    return fa[x]==x?x:fa[x]=find_fa(fa[x]);
}
int main()
{
    int T;scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n*2;i++)san[i]=0;
    tot=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&a[i].a1,&a[i].a2,&a[i].com);san[++tot]=a[i].a1;san[++tot]=a[i].a2;
    }
    sort(san+1,san+tot+1,cmp1);
    m=unique(san+1,san+tot+1)-(san+1);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        a[i].a1=query(a[i].a1);
        a[i].a2=query(a[i].a2);
    }
    sort(a+1,a+n+1,cmp2);
    for(int i=1;i<=n*2;i++)fa[i]=i;
    int pd=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int fa1=find_fa(a[i].a1);
        int fa2=find_fa(a[i].a2);
        if(a[i].com==1)fa[fa1]=fa2;
        else
        {
            if(fa1==fa2)pd=1;
        }
        if(pd)break;
    }
    if(pd)printf("NO
");else printf("YES
");
    }
    return 0;
}