填坑之归并排序

填坑之归并排序

归并排序：

复杂度：稳定的O(nlogn)

空间：两倍空间

应用：求逆序对

算法思想：将数据划分为若干个有序的小区间，每次将两个区间合并时也许满足有序

逆序对 洛谷P1908

方法一：利用归并排序的思想，每次出现右端区间的数小于左区间时，统计出现的逆序对数

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
#define ll long long
#define R register
int n;long long ans=0;
int a[500005+5],rr[500005+5];
void msort(int l,int r)
{
    int mid=l+r>>1;
    if(l==r)return;
    msort(l,mid);msort(mid+1,r);
    int x=l,y=mid+1,tot=l;
    while(x<=mid&&y<=r)
        if(a[x]<=a[y])rr[tot++]=a[x++];
        else rr[tot++]=a[y++],ans+=(ll)mid-x+1;
    while(x<=mid)rr[tot++]=a[x++];
    while(y<=r)rr[tot++]=a[y++];
    for(R int i=l;i<=r;i++)a[i]=rr[i];
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(R int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
    msort(1,n);
    printf("%lld
",ans);
    return 0;
}

以下update于2019.815

方法二：树状数组

这个其实也有两种写法

洛谷题解里有一篇讲得很不清晰，文字里说的是一种写法，代码里却是另一种写法，害得我想了半天

两种写法

第一种写法：（可以于可重复数据）

先保证i<j 再保证a[i]>a[j]

即按原顺序枚举，再在其离散化后的数组中的rank在数状数组中+1

例题：洛谷2019年7月月赛题小鱼比可爱（加强版）

题意：求所有区间逆序对总个数

显然一对逆序对a[i],a[j]对答案的贡献次数为 i*(n-j+1)

所以add(rank[i],i) ans=ans+(n-i+1)*sum(rank[i]-1)

这道题显然用归并也能做，但需要记录一个前缀和数组防止T掉

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;
#define ll __int128
#define maxn 1000100
ll n;
ll a[maxn],b[maxn],c[maxn],ran[maxn];
ll lowbit(ll x){return x&(-x);}
ll read()
{
    ll ret=0;
    char ch=getchar();
    while(ch>'9'||ch<'0')ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9')
    {
        ret=ret*10+ch-'0';
        ch=getchar();
    }
    return ret;
}
void add(ll x,ll v)
{
    while(x<=n)
    {
        c[x]+=v;
        x+=lowbit(x);
    }
}
ll query(ll x)
{
    ll ret=0;
    while(x!=0)
    {
        ret+=c[x];
        x-=lowbit(x);
    }
    return ret;
}
bool cmp(ll x,ll y)
{
    return x>y;
}
ll ans=0;ll m;
void write(ll x)
{
    if(x>9)write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
ll posi(ll x)
{
    ll l=1,r=m,mid,ans;
    while(l<=r)
    {
        mid=(l+r)>>1;
        if(b[mid]>=x)
        {
            ans=mid;l=mid+1;
        }
        else r=mid-1;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    n=read();
    for(ll i=1;i<=n;i++)
    {
        a[i]=read();b[i]=a[i];
    }
    sort(b+1,b+n+1,cmp);
    m=unique(b+1,b+n+1)-b-1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        ran[i]=posi(a[i]);
    }
    for(ll i=1;i<=n;i++)
    {
        ans+=(ll)(n-i+1)*query(ran[i]-1);
        add(ran[i],i);
    }
    write(ans);
    return 0;
}

第二种写法：(只能用于不重复数据)

先保证a[i]>a[j]再保证i<j

即记录一个数组b[i]记录了第i大的数在原数组中排第几，然后从1到n枚举i，将树状数组中的第b[i]个的值+1