noip2014飞扬的小鸟

飞扬的小鸟

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题意：

一个二维平面，长为(n)，宽为(m)，其中有(k)个管道，小鸟从最左边任意整数高度位置出发，到达游戏界面最右边时，游戏完成。

小鸟每个单位时间沿着(x)轴向右移动一个单位距离，小鸟在从(i)移动到(i +1)时，玩家可以选择是否点击屏幕（可以点击多次），若不点击，小鸟将下降(y_i)单位距离，若点击(j)次，小鸟的上升距离为(j imes x_i)。

当小鸟碰到管壁或纵坐标等于(0)时，游戏结束。小鸟的高度可以不停上升，但最高不超过(m)，（可以到达(m)，游戏不会结束）。

管道：并不是每个横坐标都对应一个管道，管道有一个上边沿高度和一个下边沿高度。

这样一个图片便于理解题意：

蓝色直线表示小鸟的飞行轨迹，红色直线表示管道。

求是否可以完成游戏，如果可以，求最小点击次数，如果不可以，求最多可以通过多少个管道缝隙。

数据范围：

(5le nle10000,5le mle1000)

(70\,\,points)

这个(dp)方程除了跳到顶比较难处理以外，还是很容易想到的，

但相对的，时间复杂度也很大，(O(nm^2))

for(int i = 1; i <= n; i++)
{
    for(int j = max(L[i], x[i - 1]); j <= min(P[i], m); j++)
    {
        for(int k = 1; j + k * x[i - 1] <= m; k++)
        {
            dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i - 1][j - x[i - 1]] + 1);
            if(j + Y[i - 1] <= m) dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i - 1][j + Y[i - 1]]);
        }
        if(j == m)
        {
            for(int ｋ = m - x[i - 1]; k <= m; ｋ++)
            {
                dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i - 1][ｋ] + 1);
                dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + 1)；
            }
        }
    }
}

(100 \,\,points)

考虑如何把时间复杂度优化到(O(nm))，

首先枚举横坐标和纵坐标是难以优化的，

考虑(x = 3)的情况（众所周知，找规律要从(3)开始找）

(dp[3,10] = min(dp[2,7] + 1,dp[2,4]+2,dp[2,1] +3))

(dp[3,7] = min(dp[2,4] + 1，dp[2,1] + 2))

(dp[3,4]=min(dp[2,1] + 1))

由以上的规律，我们很容易得出以下的一个式子：

(dp[i][j] = min(dp[i - 1][j - x[i - 1]] + 1, dp[i][j - x[i - 1]] + 1))

好吧，其实不用这么麻烦，可以用从上一次转移必须装物品的完全背包进行理解

for(int i = 1; i <= n; i++)
{
    for(int j = max(L[i], x[i - 1]); j <= min(P[i], m); j++)
    {
        dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i - 1][j - x[i - 1]] + 1);
        dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][j - x[i - 1]] + 1);
        if(j == m)
        {
            for(int ｋ = m - x[i - 1]; k <= m; ｋ++)
            {
                dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i - 1][ｋ] + 1);
                dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + 1)；
            }
        }
    }
}

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
#define maxn 10100
int n, m, k;
int X[maxn], Y[maxn], L[maxn], H[maxn];
int dp[maxn][1010];
int main()
{
    memset(dp, 0x3f, sizeof(dp));
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);
    for(int i = 0; i < n; i++)
    {
        scanf("%d%d", &X[i], &Y[i]);
        L[i] = 0; H[i] = m + 1;
    } L[n] = 0; H[n] = m + 1;
    for(int i = 1; i <= k; i++)
    {
        int x, y, z;
        scanf("%d%d%d", &x, &y, &z);
        L[x] = y; H[x] = z;
    }
    for(int i = 1; i <= m; i++) dp[0][i] = 0;
    for(int i = 0; i <= n; i++)
    {
        for(int j = 1; j <= m; j++)
        {
            if(j - X[i - 1] > L[i - 1] && j - X[i - 1] < H[i - 1])
                dp[i][j] = min(dp[i - 1][j - X[i - 1]] + 1, dp[i][j]);
            if(j - X[i - 1] > 0)dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][j - X[i - 1]] + 1);
 //           if(j + Y[i - 1] <= m) dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i - 1][j + Y[i - 1]]);
            if(j == m)
            {
                for(int k = m - X[i - 1]; k <= m; k++)
                {
                    if(k > L[i - 1] && k < H[i - 1])
                    dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i - 1][k] + 1);
                    dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + 1);
                }
            }
        }
        for(int j = 1; j <= m - Y[i - 1]; j++)
        {
            if(j + Y[i - 1] > L[i - 1] && j + Y[i - 1] < H[i - 1])
            dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i - 1][j + Y[i - 1]]);
        }
    }
    int cnt = 0, ans = 0;
    for(int i = 0; i <= n; i++)
    {
 //       if(i == 1 || i == 2)
 //       printf("i = %d L  = %d H = %d
", i, L[i], H[i]);
        for(int j = L[i] + 1; j <= H[i] - 1; j++)
        {
   //         if(i == 1 || i == 2)
   //         printf("dp[%d][%d] = %d cnt = %d ans = %d
", i, j, dp[i][j], cnt, ans);
            if(dp[i][j] < 1e9)
            {
                if(cnt < i)
                {
                    ans = 1e9; cnt = i;
                    ans = min(ans, dp[i][j]);
                }
                else ans = min(ans, dp[i][j]);
            }
        }
    }
    int tot =  0;
    if(cnt != n)
    {
        for(int i = 0; i <= cnt; i++)
            if(H[i] != m + 1) tot++;
    }
    if(cnt == n) printf("1
"); else printf("0
");
    if(cnt == n) printf("%d
", ans); else printf("%d
", tot);
    return 0;
}