前置知识
带*表示如果只是学会可以不会这个知识点，但是较难的题目里面需要用到。
狄利克雷卷积
详见数论函数&狄利克雷卷积。
线性筛
详见线性筛
整除分块
详见整除分块
*杜教筛
详见杜教筛
莫比乌斯函数
莫比乌斯函数的定义
莫比乌斯函数的积性
莫比乌斯函数是个积性函数，但是不是完全积性函数。
也就是说有：
证明：
分类讨论：
先讨论两者至少一个满足第三个情况的：
因为 (0) 和任何数相乘都是 (0) ，那么显然左侧是 (0) ，对于右侧：
有一个数的素因数最高次幂 (> 1)，那么代表这个乘积的素因数最高次幂也一定 (>1) ，那么肯定会取到 (0) 。
接下来讨论 (n,m) 都不满足第三个情况的：
存在至少一个第一种情况的时候很好讨论，这里略去。
这里讨论两个都是第二种情况的时候：
因为 (n,m) 互质，所以它们没有相同的素因子，于是：
设 (large n=prodlimits_{i=1}^{k_1}p_{i_1}^{a_{i_1}},m=prodlimits_{i=1}^{k_2}p_{i_2}^{a_{i_2}})
那么 (nm) 就可以写成：
(large nm=prodlimits_{i=1}^{k_1}p_{i_1}^{a_{i_1}}prodlimits_{i=1}^{k_2}p_{i_2}^{a_{i_2}}=prodlimits_{i=1}^{k_1+k_2}p_{i_3}^{a_{i_3}})
而且这里的所有 (a_{i_3}) 都是 (1) 。
那么就变成了讨论 (k_1+k_2) 的奇偶性，这时，我们可以观察到，如果出现第一种情况，那么其实可以看做是 (k=0) 的，而 (k) 为偶数的时候又恰好 ((-1)^k=1) 。
也就是说，如果 (k_1) 和 (k_2) 奇偶性相同，那么等式左边只能是 ((-1) imes (-1)=1) 或者 (1 imes 1=1) ，这时等式右边也恰好是 (1)
如果不同，那么等式左边也只能是 ((-1) imes 1=-1) ，这时等式右边也恰好是 (-1)
(Q.E.D.)
莫比乌斯函数常见性质
(mu * I=varepsilon, mu*id=varphi, mu * d=I)
写成和式也就是：
证明略。
莫比乌斯函数常见求法
线性筛
int prime[N],mu[N],cnt,pre[N],val[N];
bool isprime[N];
void GetPrimes(int v){
mu[1]=pre[1]=1;
for(int i=2;i<=v;i++){
if(!isprime[i]) prime[++cnt]=i,mu[i]=-1;
pre[i]=pre[i-1]+mu[i];
for(int j=1;j<=cnt&&prime[j]*i<=v;j++){
isprime[i*prime[j]]=true;
if(i%prime[j]==0) break;
mu[i*prime[j]]=-mu[i];
}
}
return ;
}
分解质因数
直接按照定义暴力分解质因数即可。
代码：
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define ld long double
inline ll mul(ll x,ll y,ll mod){
ll res=x*y-mod*(ll)((ld)x/mod*y);
if(res<0)return res+mod;
if(res<mod)return res;
return res-mod;
}
ll QuickPow(ll x,ll y){
ll res=1;
for(;y;y>>=1,x=x*x%MOD) if(y&1) res=res*x%MOD;
return res;
}
ll Quick_Pow(ll x,ll y,ll mod=-1){
ll res=1;
for(;y;y>>=1,x=mul(x,x,mod)) if(y&1) res=mul(res,x,mod);
return res;
}
ll test[3]={2,61};
inline bool Miller_Rabin(ll x){
if(x==1) return false;
ll t=x-1,k=0;
while(!(t&1)) t>>=1,k++;
for(int i=0;i<2;i++){
if(x==test[i]) return true;
ll a=Quick_Pow(test[i],t,x),Nex=a;
for(int j=1;j<=k;j++){
Nex=mul(a,a,x);
if(Nex==1&&a!=1&&a!=x-1) return false;
a=Nex;
}
if(a!=1) return false;
}
return true;
}
inline bool prime(ll x){
if(x==46856248255981ll||x<2)return false;
if(x==2||x==3||x==7||x==61||x==24251) return true;
return Miller_Rabin(x);
}
ll gcd(ll x,ll y){return y?gcd(y,x%y):x;}
inline ll f(ll x,ll c,ll mod){
ll res=mul(x,x,mod)+c;
return res<mod?res:res-mod;
}
inline ll Pollard_Rho(ll x){
ll c=rand()%(x-1),s=0;
for(ll lim=1;;lim<<=1){
ll t=s,now=1;
for(ll j=1;j<=lim;j++){
s=f(s,c,x);
now=mul(now,abs(s-t),x);
if(!now){ll d=gcd(s,x);if(d>1)return d;return x;}
if(j%127==0){ll d=gcd(now,x);if(d>1)return d;}
}
ll d=gcd(s,x);
if(d>1) return d;
}
}
ll Maxn;
ll t[N],q,id,fl;
map<int,int>Map;
inline void GetFact(ll x){
if(fl) return ;
if(x<=1) return ;
if(prime(x)){
if(Map[x]) fl=true;
Map[x]=1;id++;
return ;
}
ll p=Pollard_Rho(x);
while(p>=x) p=Pollard_Rho(x);
GetFact(x/p),GetFact(p);
return ;
}
inline int mu(int x){
fl=false;id=0;map<int,int>mapp;swap(mapp,Map);
GetFact(x);
if(fl) return 0;
return ((id&1)?-1:1);
}
莫比乌斯反演
对于两个定义在非负整数域上的两个函数 (f(n)) 和 (g(n))
子集形式（因数形式）
公式
如果满足：
那么有：
证明1
证明2（狄利克雷卷积）
已知 (f=g*I) ，证明 (g=f*mu)
易知如下转化：(f*mu=g*I*muRightarrow f*mu=g)
超集形式（倍数形式）
公式
如果满足：
那么有：
证明
莫比乌斯函数/反演基础应用
求 gcd 为某个数的数对个数
问题
求
结论
分析
也就是一般有这样的套路，设函数 (g(d)) 为：
这时我们可以观察我们的函数 (f) ：
发现这时的 (f) 函数性质非常好，就相当于取两个数使得他们都是 (d) 的倍数，可以直接写出：
然后我们尝试通过莫比乌斯反演来求出 (g) 就是利用 (f) ：
那么就是：
然后我们换成直接枚举这个倍数 (large t=frac dn) ：
那么对于这个柿子可以应用整除分块来处理后半部分，然后预处理一下 (mu) 的前缀和即可在 (sqrt{N}) 的复杂度做到 (O(n)) 预处理的单次询问
注意这里的整除分块：
其实我们不是按照 (tn) 来分块（这样我就不会处理 (mu) 里面的东西了），而是 (t) 来分块。
要把柿子转化成这样：
[large g(n)=sumlimits_{t=1}^{min(N,M)} mu(t) lfloordfrac{lfloorfrac N{t} floor}{n} floorlfloordfrac{lfloorfrac M{t} floor}{n} floor ]然后这个时候以 (t) 来分块看上去就很没有问题了，因为变量只有 (t) ，和 (n) 没有关系，我们只关注分子的变化即可。
接下来可以注意这样的分块，其实就等价于 (N,M) 都来分块，分了很多个隔板，然后块的个数也就是 (2sqrt{N}) 级别了。
也就是每次取 (r) 的时候取两者算出来较小的右端点。
求 gcd 为质数的数对个数
问题
也就是求：
结论
分析
根据结论，那么直接把后半写成：
然后转为枚举 (d) ：
那么最后那个柿子可以通过一点小办法处理出来，然后前面就是整除分块。
后面那个可以这样做：考虑每一个质数 (k) ，对于 (k) 的倍数 (T) ，将它的值加上 $ mu(frac{T}{k})$
例题
CF900D Unusual Sequences
给定一个序列的 (gcd) 和 (sum) ，求这样的序列个数。
P3455 [POI2007]ZAP-Queries
求：
其中 (n,m,kle 5 imes 10^4) ，(tle 5 imes 10^4) 组数据。
P2257 YY的GCD
求：
(T=10^4，n, m leq 10^7)
题目：P2257 YY的GCD
解答：P2257 YY的GCD
扩展
还有一大堆多题没写...