Luogu P4299 首都 LCT

既然是中文题目，这里便不给题意。

分析：

　　这个题的做法据说是启发式合并？

　　但是我不会啊……

　　进入正题，LCT是怎样做掉这道题的。记得在前面的一篇《大融合》的题解中，介绍过LCT维护子树信息的做法。

　　一句话概括就是要维护虚子树和实子树的size，适时修改，保持其正确性。

　　这道题关键并不在这，但我们必须要维护这样一个信息才可以做。

　　很简单很直观的一个想法，因为我们每次合并两棵树时，新的重心必然出现在原来两个重心的路径上。

　　这是为什么？我们假设如果不在这条路径上，而是其中一棵树的其他子树的某一点，那么我们发现这一点比起之前，size较大的一棵子树上又缀了一棵树（以这个点为根），所以一定不优。

　　于是我们就合并树后把两棵原树的重心打通，（放到一个splay里），这时候尺寸就派上用场了，我们就在这个splay里查找，因为重心反正肯定存在于这个splay中了，那么我们就维护一个左尺寸，一个右尺寸。左边大了我们就让重心往左移动，右边大了就往右移动，直到两边的尺寸都小于等于总尺寸的一半，就好啦！（别忘了多个重心时的编号最小化）

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define lc(x) t[x][0]
#define rc(x) t[x][1]
using namespace std;
const int N=100005;
const int inf=0x3f3f3f3f;
struct LCT{
    int t[N][2],s[N],rev[N],fa[N],sx[N],sz[N],tp;
    void pushup(int x){
        sz[x]=sz[lc(x)]+sz[rc(x)]+sx[x]+1;
    } bool pdrt(int x){
        return rc(fa[x])!=x&&lc(fa[x])!=x;
    } void revers(int x){
        rev[x]^=1;swap(lc(x),rc(x));
    } void pushdown(int x){
        if(rev[x]){ rev[x]=0;
            if(lc(x)) revers(lc(x));
            if(rc(x)) revers(rc(x));
        } return ;
    } void rotate(int x){
        int y=fa[x];int z=fa[y];
        int dy=(rc(y)==x),dz=(rc(z)==y);
        if(!pdrt(y)) t[z][dz]=x;
        t[y][dy]=t[x][dy^1];fa[t[y][dy]]=y;
        t[x][dy^1]=y;fa[y]=x;fa[x]=z;
        pushup(y);return ;
    } void splay(int x){
        s[++tp]=x;
        for(int i=x;!pdrt(i);i=fa[i])
        s[++tp]=fa[i];
        while(tp) pushdown(s[tp--]);
        while(!pdrt(x)){
            int y=fa[x];int z=fa[y];
            if(!pdrt(y))
            if(rc(y)==x^rc(z)==y) rotate(x);
            else rotate(y);rotate(x);
        } pushup(x);return ;
    } void access(int x){
        for(int i=0;x;x=fa[i=x])
        splay(x),sx[x]+=sz[rc(x)],
        sx[x]-=sz[rc(x)=i],pushup(x);
    } void mkrt(int x){
        access(x);splay(x);revers(x);
    } void split(int x,int y){
        mkrt(x);access(y);splay(y);
    } void link(int x,int y){
        split(x,y);sx[fa[x]=y]+=sz[x];
        pushup(y);
    } int update(int x){
        int l,r,o=sz[x]&1,sm=sz[x]>>1,
        ls=0,rs=0,np=inf,nl,nr;
        while(x){
            pushdown(x);
            nl=sz[l=lc(x)]+ls;nr=sz[r=rc(x)]+rs;
            if(nl<=sm&&nr<=sm){
                if(o){np=x;break;}
                else if(np>x) np=x;
            } if(nl<nr) ls+=sz[l]+sx[x]+1,x=r;
            else rs+=sz[r]+sx[x]+1,x=l;
        } splay(np);return np;
    }
}t;int n,m,fa[N];
int get(int x){
    return fa[x]==x?x:fa[x]=get(fa[x]);
} int main(){
    char c[5];int rox=0;//尤为重要，必须赋0； 
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++) 
    t.sz[i]=1,fa[i]=i,rox^=i;
    while(m--){
        scanf("%s",c);int x,y,z;
        if(c[0]=='A'){
            scanf("%d%d",&x,&y);t.link(x,y);
            t.split(x=get(x),y=get(y));
            z=t.update(y);rox=(rox^x^y^z);
            fa[x]=fa[y]=fa[z]=z;
        } else if(c[0]=='Q'){
            scanf("%d",&x);
            printf("%d
",get(x));
        } else printf("%d
",rox);
    } return 0;
}