数学基础-线性代数

矩阵

基本概念

一个 $ n imes m $ 的矩阵是 $ n $ 行 $ m $ 列的举行整列,一般由数组成,下面是一个 $ 2 imes 3 $ 的矩阵. $$ egin{pmatrix}1&2&34&5&6 end{pmatrix} $$
单位矩阵 $$ I = egin{pmatrix} 1 & cdots & 0 vdots & ddots &vdots 0 & cdots &1end{pmatrix} $$ ,也就是对角线上为1,其他都为0的矩阵.

基本运算

矩阵加法
每行每列各个数各自相加

矩阵乘法
设 $ A $ 是 $ n imes m $ 的矩阵, $ B $ 是 $ m imes p $ 的矩阵,他们的乘积 $ C $ 是一个 $ n imes m $ 的矩阵, 其中

[C_{i,j} = sum_{k=1}^{m}A_{i,k} imes B_{k,j} ]

矩阵的幂

[A^0=I ]

[A^n=A^{n-1} imes A(n > 0) ]

矩阵的转置
$ n imes m $ 的矩阵 $ A $ 的转置 $ A^T $ 是个 $ m imes n $ 的矩阵, 可以通过 $ A $ 交换行列得到.

矩阵的逆
只有 $ n imes n $ 的可能存在逆, 矩阵 $ A $ 的逆 $ B $ 满足

[A imes B = B imes A = I ]

如果 $ B $ 存在,则 $ B $ 是唯一的,一般记做 $ A^{-1} $

性质

1. 矩阵惩罚满足分配率,结合律,不一定满足交换律
2. 矩阵假发满足交换律和结合率

算法

矩阵满足结合律,所以在求矩阵的幂的时候可以使用快速幂加速

行列式

基本概念

行列式是一个定义域为 $ n imes n $ 的矩阵, 值域为一个标量的函数, 通常记为 $ det(A) $

行列式也可以表示为 $ n $ 维广义欧几里得空间中的有向体积.

一个 $ n imes n $ 的行列式定义为 $$ det(A) = sum_{sigma in S_n}(-1)^{{n(sigma)}prod_{i=1}}na_{i,sigma(i)} $$
其中 $ S_n $ 表示集合 $ {1,2,3 cdots, n} $ 上置换的全体, $ n(sigma) $ 是对一个置换中逆序对的个数,逆序对的定义为满足 $ 1 le i < j le n $ 且 $ sigma(i) > sigma(j) $ 的 $ (i,j) $

性质

1. 若矩阵中一行或者一列为0,那么该行列式的值为0
2. 若矩阵中有一行有公因子k, 那么可以提出k, 使得 $ D=kD_1 $
3. 若矩阵中有一行可以拆分成两个数之和,那么该行列式可以拆分成两个行列式相加(剩余的行和列不发生改变)
4. 交换矩阵的两行,行列式取反
5. 将一行的 $ k $ 倍加到另一行上,行列式不变
6. 转置,行列式不变
7. 有上述性质可以得到,如果该矩阵是上三角或者下三角矩阵时,行列式的值等于对角线的乘积

解线性方程组

基本概念

解线性方程组即求解方程组

[egin{cases} a_{1,1}x_1 + a_{1,2}x_2 + cdots + a_{1,n}x_n = b_1 \ vdots \ a_{m,1}x_1 + a_{m,2}x_2 + cdots + a_{m,n}x_n = b_mend{cases} ]

也可以表示为 $ Ax = B $ , 其中 $ A $ 是 $ m imes n $ 的矩阵, $ x $ 是 $ n $ 维列向量, $ b $ 是 $ m $ 维列向量, 即

[egin{pmatrix} a_{1,1} &cdots &a_{1,n} \ vdots& ddots &vdots \ a_{m,1} &cdots &a_{m,n} end{pmatrix} egin{pmatrix} x_1 \ vdots \ x_n end{pmatrix} = egin{pmatrix}b1 \ vdots \ b_m end{pmatrix} ]

算法

1. 高斯消元(Gaussian elimination)

矩阵的初等变换:

互换矩阵两行(列),用非零常熟乘某一行(列),某行(列)的 $ k $ 倍加到矩阵的另一行(列)(避免精度损失)

则上述方程组可以用一个增光矩阵表示.

[egin{pmatrix} a_{1,1} & cdots & a_{1,n} & b_1 \ vdots & ddots & vdots & vdots \ a_{m,1} & cdots & a_{m,n} & b_m \ end{pmatrix} ]

于是我们只要进行初等变换使得上述矩阵称为上三角矩阵就行了.

2. 克莱姆法则(Cramer rule)

当 $ A $ 为 $ n imes n $ 的矩阵时,可用Cramer rule进行求解, 方程的解为:

[x_i = frac{D_i}{D} ]

其中 $ D $ 是 $ A $ 的行列式, $ D_i $ 是将 $ A $ 中第 $ i $ 列替换成 $ b $ 后得到的矩阵的行列式.
例如上述列子中,求解 $ x_2 $ , 已知: $$ D = egin{pmatrix} 1 & 1 & 1 1 & 1 & 2 1 & 2 & 3 end{pmatrix} = -1, Degin{pmatrix} 1 & 1 & 1 1 & 2 & 2 1 & 6 & 3 end{pmatrix} = -3 $$
立刻就可以得到: $$ x_2 = frac{D_2}{D} = 3 $$

用途

1. 求解可逆矩阵的逆矩阵:

对于一个 $ n imes n $ 的非奇异矩阵, 在矩阵右侧补上一个 $ n imes n $ 的单位矩阵, 对于这个 $ n imes (2n) $ 的矩阵进行高斯消元, 使得这个矩阵左侧变成一个 $ n imes n $ 的单位矩阵.这是右侧的 $ n imes n $ 的矩阵就是原矩阵的逆矩阵
2. 同模方程组也可使用高斯消元, 在除法时用乘逆元代替. 偶遇只有在模素数时, 非零数的逆元才唯一, 所以, 素数模才能保证有唯一解
3. 求解行列式的值.消成上三角矩阵就OK.

Expand

1. 由于在消元过程中需要用到除法, 所以会有浮点运算精度问题, 不同的消元顺序可能会导致较大的差异, 推荐使用绝对值较大的主元进行消元, 能达到比较好的效果
2. 可以使用辗转相除法进行消元,这样做可以保证稀疏为整数.

多项式

基本概念

给定一个数域 $ R $ , 变量 $ x $ , 一元多项式的形式是:

[f(x) = sum_{i=0}^na_ix^i ]

其中 $ a_i in R $ , 并且 $ a_n ot= 0 $

多项式中次数最高的项称为首项,首项的系数等于1的多项式称作首一多项式

多项式加法: 对应次数系数做加法.例如:

[f(x) + g(x) = sum_{i=0}^n(a_i + b_i)x^i ]

多项式乘法: 两个多项式的每一项都相乘, 例如:

[f(x) ullet g(x) = sum_{i=0}^nsum_{j=0}^na_ib_jx^{i+j} ]

性质

1. $ (1 + x)^n = sum_{i=0}^n inom{n}{i}x^i $
2. $ n $ 个点可以唯一确定一个 $ n $ 次多项式
3. 一个 $ n $ 次多项式有 $ n $ 个负数根

算法

用牛顿迭代法求解方程的根

选择一个靠近多项式 $ f(x) $ 零点的点 $ x_0 $ 作为迭代初值, 计算 $ f(x_0) $ 和 $ mathop{{f}'}(x_0) $ , 解方程:

[ x cdot mathop{{f}'}(x_0) + f(x_0) - x_0 cdot mathop{{f}'}(x_0) = 0 $$ 得到解 $ x_1 $ 如此反复迭代,就可以求出多项式的一个根. # 复数 ## 基本概念 复数是由实部和虚部组成的数,通常有两种表示方法, $ z=a+bi $ , $ a $ 和 $ b $ 都是实数, $ i $ 是虚单位根,满足 $ i^2=-1 $ , $ |z|=sqrt(x^2+y^2) $ 表示复数的模长.复数也可以表示为 $ z = Re^{ivarphi}=R(cos(varphi)+isin(varphi)) $ , 其中 $ R=|z| $ , $ e^{ivarphi}=cos(varphi)+isin(varphi) $ 复数的运算满足结合律,分配率和交换率 复数可以表示为实数平面上的一个向量, 复数的乘法可以理解为两个向量的角度相加,模长相乘, 因此用复数的乘法处理向量的旋转非常的方便.具体来说,如果一个向量 $ (x,y) $ 旋转 $ varphi $ , 可以视为两个复数, $ x+yi $ 乘以 $ cos(varphi) + sin(varphi)i $ ,等于 $ xcos(varphi) + ysin(varphi) + (ycos(varphi) + xsin(varphi))i $ # 群 ## 基本概念 ### 群 在数学中,群是一种代数结构, 由一个集合 $ S $ 与一个二元运算 $ cdot $ 组成, 要成为群, 还要满足一些条件, 这些条件被称为"群公理", 即**封闭性,结合律,单位元**和**逆元** 1. 封闭性即 $ forall a,b in S, a cdot b in S $ 2. 结合律即 $ forall a,b,c in S, (a cdot b) cdot c = a cdot (b cdot c) $ 3. 单位元即有一个元素 $ e $ , $ forall a in S, e cdot a = a cdot e = a $ (在群 $ G $ 中,常用1表示单位元) 4. 逆元即 $ forall a in S, exists b in S, a cdot b = b cdot a = e $ , 记 $ b = a^{-1} $ 值得注意的是, 二元运算符 $ cdot $ 仅表示抽象的运算符号, 在不同的群中解释不同. 在不引起歧义的地方常将其省略. 例如: 整数加法群 $ (Z,+,0) $ , 是由整数 $ Z $ 和整数加法运算+组成的.其单元元是 $ 0 $ , 封闭性: $ forall a, b in Z, a + b in Z $ ; 结合律: $ forall a,b,c in Z, (a + b) + c = a + (b + c) $ , 逆元: $ forall a in Z, a^{-1} = -a $ ### 子群 设 $ G $ 是群, $ oslash ot= H subseteqq G $ , 若 $ H $ 具有封闭性,单位元,逆元,则 $ H $ 是 $ G $ 的一个子群. 作为群公理之一的结合律, 因为 $ H $ 继承了 $ G $ 的运算,所以自然成立,因此,子群也是群.(例如 $ (bZ,+,0) $ 就是 $ (Z,+,0) $ 的子群) ### 元素的价 在群 $ G $ 中,定义元素 $ g $ 的价 $ o(g) $ , 为使 $ g^n=1_G $ 成立的最小自然数 $ n $ ; 如果此自然数不存在, 则记做 $ o(g) = infty $ . ### 循环群 设 $ g $ 是群 $ G $ 中一个取定的元素, 若群 $ G $ 的任意一个元素 $ a $ 可以写成 $ a = g^n, n in Z $ 的形式, 则称 $ G $ 循环群,称 $ g $ 为群 $ G $ 的一个生成元, 可写成 $ G = < g > $ ### 交换群 具有交换性的群称为交换群. 交换性: $ forall a, b in G, ab = ba $ 整数加法群是交换群,因为整数加法满足交换律, 一般线性群 $ GL(n) $ 由所有 $ n imes n $ 的可逆矩阵和矩阵乘法组成, 它不是交换群, 因为矩阵乘法不满足交换律. ### 置换群 设 $ A $ 是一个非空集合, $ A^A $ 是 $ A $ 到 $ A $ 上的所有的置换的集合, 在 $ A^A $ 上的所有的置换的集合,在 $ A^A $ 上定义二元运算符为映射的复合, 因为映射的符合满足结合律, 记 $ S $ 为 $ A $ 上所有可逆映射的集合, 则 $ S $ 关于映射的复合构成群. 当 $ A $ 是有限集合时, 可设 $ A = {1,2, cdots, n} $ , 则 $ A $ 上的可逆变换可表示为 $$ f = egin{pmatrix} 1 & 2 & cdots & n-1 & n \i_1 & i_2 & cdots & i_{n-1} & i_n end{pmatrix} ]

其中 $ i_1,i_2,cdots $ 是一个 $ n $ -的排列, $ i_j $ 表示将 $ j $ 位置上的元素换到了 $ i_j $ 位置.这样一个变换称作 $ n $ 次置换, 形成的群称作 $ n $ 次置换群. 所有的 $ n $ 次置换形成的群记做 $ S_n $ ,例如 $ S_3=left{ egin{pmatrix} 1&2&3 1 &2 &3 end{pmatrix}egin{pmatrix} 1&2&3 1 &3 &2 end{pmatrix}egin{pmatrix} 1&2&3 2 &1 &3 end{pmatrix}egin{pmatrix} 1&2&3 2 &3 &1 end{pmatrix}egin{pmatrix} 1&2&3 3 &1 &2 end{pmatrix}egin{pmatrix} 1&2&3 3 &2 &1 end{pmatrix} ight} $

还有一种表示置换的方法,若 $ (i_1,i_2,cdots,i_k) $ 满足 $ f(i_j)=i_{j+1} $ , 则称 $ (i_1,i_2,cdots,i_k) $ 为一个循环节, 显然, 一个置换可以拆成若干个循环节,所以可以将置换用循环节表示.
例如 $ S_3 $ 在这种情况下可以表示为 $ S_3={(1)(2)(3),(1)(2,3),(1,2)(3),(1,2,3),(1,3,2),(1,3)(2)} $

群作用

设 $ G $ 为群, $ S $ 为集合,考虑一个映射.

[G imes S o S ]

[(g,x) longmapsto g circ x ]

若此映射满足:

(a) $ 1_G circ x = x, forall x in S $

(b) $ (gh) circ x = g circ (h circ x), forall x in S, forall g, h in G $

则成映射 $ circ $ 是 $ G $ 上的一个群作用

$ S_3 $ 在 $ T = {a,b,c} $ 上有群作用 $ circ $ :

[S_3 imes T o T ]

[(f,t) longmapsto f circ t = f(t) ]

例如对于 $ f = egin{pmatrix} 1 & 2 & 3 2 & 3 & 1 end{pmatrix} $ , $ f circ a=f(a)=b, f circ b = f(b) = c, f circ c = f(c) = a $

其他的内容

群作用相关