数学基础-组合学

排列和组合

基本概念:

1. 加法原理: 设集合(S)划分为部分(S_1, S_2, cdots, S_m)则(S)的元素个数可以用过找出它的每一部分的元素的个数来确定, 把这些数相加, 得到:

[|S| = |S_1| + |S_2| + cdots + |S_m| ]

2. 乘法原理: 令(S)是元素的序偶((a,b))的集合,其中第一个元素(a)来自大小为(p)的一个集合,而对于(a)的每个选择,元素(b)存在着(q)中选择, 于是:

[|S| = p imes q ]

3. (n)个元素中(r)个元素的有序摆放称为(n)个元素的(r)-排列, (n)个元素集合的(r)-排列数目用(P(n,r))来表示.
4. (n)个元素中对(r)个元素的无序选择称为(n)个元素的集合(S)的一个(r)-组合.(n)个元素集合的(r)-组合的数目用(inom{n}{r})表示
5. 如果(S)是一个多重集, 那么(S)的一个(r)-排列是(S)的(r)个元素的一个有序排放.如果(S)的元素总个数是(n), 那么(S)的(n-)排列也将成为(S)的排列.

性质

1. 对于正整数(n)和(r), (rle n), 有$$P(n,r) = n imes (n-1) imes cdots imes (n-r+1)=frac{n!}{(n-r)!}$$
2. (n)个元素的集合的循环(r)-排列的个数由$$frac{P(n,r)}{r}= frac{n!}{r(n-r)!}$$
   给出,特别的,(n)个元素的循环排列的个数是((n-1)!).
3. 对于(0 le r le n) $$P(n,r) = r! inom{n}{r}$$
4. 令(S)是一个多重集, 它有(k)个不同类型的元素,每一个元素都有无穷重复个数.那么(S)的(r)-排列的个数为(k^r)
5. 令(S)是一个多重集,有(k)个不同类型的元素,各元素的重数分别为(n_1,n_2,cdots,n_k).设(S)的大小为(n = n_1 + n_2 + cdots + n_k).则 (S)的排列数等于$$frac{n!}{n_1!n_2!cdots n_k!}$$

抽屉原理

基本概念

1. 简单形式: 如果(n+1)个物体倍放进(n)个盒子, 那么只收有一个盒子包含两个或更多的物体.
2. 加强形式: 令(q_1,q_2,cdots,q_n)为正整数,如果将$$q_1,q_2,cdots,q_n-n+1$$个物体放入(n)个盒子内,那么,或者第一个盒子至少有(q_1)个物体,或者第二个盒子至少含有(q_2)个物体,或者第(n)个盒子至少含有(q_n)个物体.

性质

1. 如果将#n#个物体放入(n)个盒子并且没有一个盒子是空的, 那么每个盒子恰好包含一个物体,
2. 如果将(n)个物体翻入(n)个盒子并且没有盒子被放入多余一个的物体,那么每个盒子里有一个物体.
3. 如果(n)个非负整数(m_1,m_2, cdots,m_n)的平均数大于(r-1):

[frac{m_1 +m_2+cdots +m_n}{n}>r-1 ]

那么至少有一个整数大于或等于(r)

特殊计数序列

Catalan序列

[C_n=sum_{i=0}^{n-1}C_iC_{n-1-i}=frac{1}{n+1}inom{2n}{n} ]

1. (n)个(+1)和(n)个(-1)构成的(2n)项$$a_1,a_2,cdots,a_2n$$
   其部分满足非负性质,即$$a_1+a_2+cdots+a_kge 0$$此数列的个数等于第(n)个Catealan数
2. (n)对括号构成的合法的括号序列的个数等于第(n)个Catalan数
3. 通过不交于内部的对角线把凸(n+2)边拆分成若干个三角形,不同的拆分数等于第(n)个Catalan数.

Stirling序列

...(这个完全可以自己推)