中国剩余定理

中国剩余定理

问题引入

求出一个数，使得这个数除 (3) 余 (2)， 除 (5) 余 (3)， 除 (7) 余 (2)。

问题求解

下面我们依照中国剩余定理的算法流程对这个问题进行求解，并且逐步解释其原理

对于这个问题，我们有一个比较简单的方法是：先找出每一个方程的解，再通过加其模数使之与其他方程的解的值相等

然而这样的想法是很难进行求解的，我们引入如下两个性质：

性质一：((a + b) mod p = a mod p + b mod p)

性质二：((a * b) mod p = (a mod p) * b)

性质一告诉我们：如果有一个数除 (5) 余 (3)，还有任意两个数被 (5) 整除，则这三个数的和满足除 (5) 余 (3)

那么，我们构造出三个数 (a, b, c) 分别满足这三个方程，并且能被其它两个数整除，那么(a + b + c)就是这个方程组的一个解

因此，这个问题被我们转化成了一个简单的问题：求一个 (x)，使得(x mod 3 = 0, x mod 7 = 0) 并且 (x mod 5 = 3)

显然，x会是 (3 * 7 = 21) 的倍数，那我们直接考虑 ((k * 21) mod 5 = 3) 就行了。由性质二可以得知，我们只需将 (21 mod 5) 扩大 ((5 imes d) / (21 mod 5)) 倍就行了，这个值就是 (k) 的值

上面这个问题（以本体为例）相等于求解一个 (x) 使得 (1 * x = 3 pmod 5) 这个问题可以通过拓展欧几里得算法求解

以本题为例，我们写出计算过程。

1. 求出最小公倍数：(lcm = 3 * 5 * 7 = 105)
2. 求出个数对应基础数：
   对于第一个条件， 我们有(105 / 3 = 35)， (35 mod 3 = 2) 满足，则基础数为 (35)
   对于第二个条件， 我们有(105 / 5 = 21)， (21 mod 5 = 1) 不满足，将这个式子乘 (3)，使得 (63 mod 5 = 3) 则基础数为 (63)
   对于第三个条件， 我们有(105 / 7 = 15)， (15 mod 7 = 1) 不满足，与上一个步骤相同，乘 (2) 得到基础数为 (30)
   把基础数相加: (35 + 63 + 30 = 128)
3. 减去最小公倍数(在比最小公倍数大的情况下)
   得到(x = 128 - 105 = 23)

数学模型

设 (m_1, m_2, cdots, m_n) 是两两互质的整数，(m = prod_{i = 1}^nm_i, M_i = m / m_i) ，(t_i) 是线性同余方程 (M_it_i = 1 pmod m_i) 的一个解，对于任意的 (n) 个数 (a_1, a_2, cdots, a_n)， 方程组 $$x = a_i pmod m_i$$有整数解，解为 (x = sum_{i = 1}^na_iM_it_i)

证明

因为 (M_i = m / m_i) 是除 (m_i) 意外所有数的倍数，所以 (forall k ot= i, a_iM_it_i = 0 pmod m_k), 又因为 (a_iM_it_i = a_i pmod m_i) 所以带入 (x)， 原方程成立

代码

ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {
    if (b == 0) { y = 0, x = 1; return a; }
    int d = exgcd(b, a%b, y, x);
    return y = y - x * (a / b), d;
}

ll base[maxn], ans[maxn];
ll M = 1;

inline void CRT() {
    for (int i = 1; i <= n; ++ i) base[i] = M / a[i];
    ll y;
    for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
        exgcd(base[i], a[i], ans[i], y);
        (res += ans[i] * b[i] * base[i]) %= M;
    }
    printf("%lld", (res + M) % M);
}