《工程数学——线性代数》—— 第1章——行列式 —— § 2 全排列和对换

§ 2 全排列和对换

一、排列及其逆序数

把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列（也简称排列）。

n个不同元素的所有排列的种数，通常用P_n表示，可计算如下：
从n个元素中任取一个放在第一个位置上，有n种取法；
从剩下的n-1个元素中任取一个放在第二个位置上，有n-1种取法；
这样继续下去，直到最后只剩下一个元素放在第n个位置上，只有1种取法。

于是，P_n=n * (n-1) * (n-2)…… 3 * 2 * 1 =n!

对于n个不同的元素，先规定各元素之间有一个标准次序，于是在这n个元素的任一排列中，当某一对元素的先后次序与标准次序不同时，就说它构成1个逆序。

一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数。

逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列。

计算排列的逆序数的方法：
不失一般性，不妨设n个元素为1至n这n个自然数，并规定由小到大为标准次序。设p₁p₂…p_n为这n个自然数的一个排列，考虑元素p_i（i=1,2,……,n），如果比p_i大的且排在p_i前面的元素有t_i个，就说p_i这个元素的逆序数是t_i。全体元素的逆序数之总和即是这个排列的逆序数。

二、对换

在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换。将相邻两个元素对换，叫做相邻对换。

定理1 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。

证

先考虑相邻对换的情形.
设 排 列 a₁ ……a_l a b b₁…… b_m 经 对 换 a b, 变 为 新 排 列a₁ ……a_l b a b₁…… b_m ，根据定义，逆序数的变化情况为：当 a <b 时，新排列逆序数增加1；当 a >b 时，新排列逆序数减少1；总之，新老排列奇偶性不同。
一般对换的情形.
设排列 a₁ ……a_l a b₁…… b_m bc₁……c_n 经过 m 次相邻对换变为 a₁ ……a_l b₁…… b_m abc₁……c_n ，再经过 m+1次相邻对换变为 a₁ ……a_l b b₁…… b_m a c₁……c_n ，经 过 2m+1 次相邻对换排列 a₁ ……a_l a b₁…… b_m bc₁……c_n 变为 a₁ ……a_l b b₁…… b_m a c₁……c_n ，其奇偶性不同。

推论 奇排列对换成标准排列的对换次数为奇数，偶排列对换成标准排列的对换次数为偶数。

证 ：因为奇排列的逆序数为奇数，而自然排 列1, 2, ……, n 的逆序数为零，由定理，进行一次对换改变一次奇偶性，所以奇排列对换成自然排列的对换次数为奇数。