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  • 第六章 定积分的应用 —— 第一节 定积分的元素法

    定积分的元素法是在应用定积分的理论来分析和解决一些几何,物理中的问题时,需要将一个量表达成为定积分的分析方法。

    步骤
    一般的,如果某一实际问题中的所求量U符合下列条件:
    (1)U是与一个变量x的变化区间[a,b]有关的量;
    (2)U对于区间[a,b]具有可加性,就是说,如果把区间[a,b]分成许多小区间,则U相应的分成许多部分量,而U等于所有部分量之和;
    (3)部分量ΔUi近似值可表示为f(ξi)Δxi,那么就可以考虑用定积分来表达这个量U。

    通常写出这个量U的积分表达式的步骤是:
    1)根据问题的具体情况,选取一个变量例如x为积分变量,并确定他的变化区间[a,b];
    2)设想把区间[a,b]分成n个小区间,选取其中任一个小区间并记作[x,x+dx],求出相应于这个小区间的部分量△U的近似值。如果△U能近似的表示为[a,b]上的一个连续函数在x处的值f(x)于定积分dx的乘积,就把f(x)dx称为量U的元素且记作dU,即
    在这里插入图片描述
    3)以所求量U的元素f(x)dx为被积表达式,在区间[a,b]上作定积分,得
    在这里插入图片描述
    这就是所求量U的积分表达式。
    上面所用的方法就是元素法。

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