这个是老科技了，但还是记一下。
问题：给定 (n, k)，求有多少个 (n) 阶排列 (p_1, p_2, cdots, p_n)，满足恰有 (k) 个 (p_i < p_{i - 1})。
分析：令 (F(n, k)) 表示有小于 (k) 个的方案数，答案就是 (F(n, k + 1) - F(n, k))。
考虑 ([0, 1)) 间均匀随机的实数序列 (a_1, a_2, cdots, a_n)。因为是随机的所以 (a_i) 可以看作互不相同，(a) 序列就可以看作是排列。
再定义序列 (b_1, b_2, cdots, b_n)，满足 (b_i = a_i - a_{i - 1} + [a_i < a_{i - 1}])，其实就是在环上 (a_{i - 1}) 顺时针走到 (a_i) 的距离。根据这个组合意义，可以发现 (b_1, b_2, cdots, b_n) 也是 ([0, 1)) 间的均匀随机数，并且 (a) 满足条件当且仅当 (sum b_i < k)。
缩放一下，令 (b_i) 为 ([0, m)) 间的均匀随机数，限制变成 (sum b_i < km)。当 (m o infty) 时，可以假设 (b_i) 都是整数。这样就变成了插板法，推一下式子：
[egin{align*}
frac{F(n, k)}{n!} = & lim_{m o infty} frac{1}{m^n} left[ sum_{i = 0}^{k - 1} inom{n}{i} (-1)^i inom{(k - i) cdot m}{n}
ight] \
F(n, k) = & sum_{i = 0}^{k - 1} inom{n}{i} (-1)^i (k-i)^n
end{align*} ]
然后就做完了！