相关分析

相关分析（correlation analysis），相关分析是研究现象之间是否存在某种依存关系，并对具体有依存关系的现象探讨其相关方向以及相关程度，是研究随机变量之间的相关关系的一种统计方法。

1简介

相关关系是一种非确定性的关系，例如，以X和Y分别记一个人的身高和体重，或分别记每公顷施肥量与每公顷小麦产量，则X与Y显然有关系，而又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这就是相关关系。

 

2分类

1、线性相关分析：研究两个变量间线性关系的程度。用相关系数r来描述。

（1）正相关：如果x,y变化的方向一致，如身高与体重的关系，r>0；一般地，

·|r|>0.95 存在显著性相关；

·|r|≥0.8 高度相关；

·0.5≤|r|<0.8 中度相关；

·0.3≤|r|<0.5 低度相关；

·|r|<0.3 关系极弱，认为不相关

（2）负相关：如果x,y变化的方向相反，如吸烟与肺功能的关系，r<0；

（3）无线性相关：r=0。

如果变量Y与X间是函数关系，则r=1或r=-1；如果变量Y与X间是统计关系，则-1<r<1。

（4）r的计算有三种：

①Pearson相关系数：对定距连续变量的数据进行计算。

②Spearman和Kendall相关系数：对分类变量的数据或变量值的分布明显非正态或分布不明时，计算时先对离散数据进行排序或对定距变量值排（求）秩。

2、偏相关分析：研究两个变量之间的线性相关关系时，控制可能对其产生影响的变量。如控制年龄和工作经验的影响，估计工资收入与受教育水平之间的相关关系。

3、距离分析：是对观测量之间或变量之间相似或不相似程度的一种测度，是一种广义的距离。分为观测量之间距离分析和变量之间距离分析。

（1）不相似性测度：

·a、对等间隔(定距)数据的不相似性（距离）测度可以使用的统计量有Euclid欧氏距离、欧氏距离平方等。

·b、对计数数据使用卡方。

·c、对二值（只有两种取值）数据，使用欧氏距离、欧氏距离平方、尺寸差异、模式差异、方差等。

（2） 相似性测度：

·a、等间隔数据使用统计量Pearson相关或余弦。

·b、测度二元数据的相似性使用的统计量有20余种。

 

3相关关系

相关分析与回归分析在实际应用中有密切关系。然而在回归分析中，所关心的是一个随机变量Y对另一个（或一组）随机变量X的依赖关系的函数形式。而在相关分析中 ，所讨论的变量的地位一样，分析侧重于随机变量之间的种种相关特征。例如，以X、Y分别记小学生的数学与语文成绩，感兴趣的是二者的关系如何，而不在于由X去预测Y。

 

4复相关

研究一个变量 x0与另一组变量 (x1,x2,…，xn)之间的相关程度。例如,职业声望同时受到一系列因素（收入、文化、权力……）的影响，那么这一系列因素的总和与职业声望之间的关系，就是复相关。复相关系数R0.12…n的测定，可先求出 x0对一组变量x1，x2，…，xn的回归直线，再计算x0与用回归直线估计值悯之间的简单直线回归。复相关系数为

R0.12…n的取值范围为0≤R0.12…n≤1。复相关系数值愈大，变量间的关系愈密切。

 

5偏相关

研究在多变量的情况下，当控制其他变量影响后，两个变量间的直线相关程度。又称净相关或部分相关。例如，偏相关系数 r13.2表示控制变量x2的影响之后，变量 x1和变量x3之间的直线相关。偏相关系数较简单直线相关系数更能真实反映两变量间的联系。

偏相关系数、复相关系数、简单直线相关系数之间存在着一定的关系。以3个变量x1，x2，x3为例，它们有如下的关系：

公式

或

公式

 

6定序变量

讨论两个定序变量间的相关的程度与方向。又称等级相关。例如，研究夫妇双方文化程度的相关等。等级相关系数有R系数和γ系数。

R系数 　计算方法与简单直线相关系数相同。 式中

公式

X,Y分别为x,y的测量值的等级。

英国统计学家 C.E.斯皮尔曼从R系数中推导出简捷式，称斯皮尔曼等级相关系数：

公式

式中di=xi-yi,i=1,2,…,N（N为次数）。

等级相关系数 R具有与简单直线相关相同的性质：取值范围在〔-1,+1〕之间；R的绝对值愈大，变量间的等级相关程度愈大。

γ系数 　适用于资料次数N 很大的情况。

公式

式中Ns为同序对数目，Nd为异序对数目。

同序对表示两个个案(xi,yi)和(xj,yj)相比时,具有xi>xj,则yi>yj的性质;反之,若xi>xj,但yi<yj，则称作一个异序对。

γ系数的取值范围在〔-1,+1〕之间。γ的绝对值愈大，变量间的等级相关程度愈大。