杜教筛 (包括线筛) 莫比乌斯函数前缀和 欧拉函数前缀和 因数和函数前缀和 因子个数前缀和 ( 分析 )

 线筛各种函数   元函数 恒等函数 单位函数 莫比乌斯函数 欧拉函数  因子个数函数 因子和函数    

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=1e6+10;
int e[maxn];
int I[maxn];
int ID[maxn];
int phi[maxn];
int mu[maxn];
void init_e() { e[1]=1; }
void init_I() { int n=maxn-1; for(int i=1;i<=n;i++) I[i]=1;}
void init_ID(){ int n=maxn-1; for(int i=1;i<=n;i++) ID[i]=i;}
bool vis[maxn];
int prime[maxn/7];
int tot=0;
void init_mu(){
    int n=maxn-1; tot=0; mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(vis[i]==0) { prime[++tot]=i;  mu[i]=-1; }
        for(int j=1;j<=tot && i*prime[j]<=n;j++){
            vis[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0){break;}
            mu[i*prime[j]]=-mu[i];
        }
    }
}
void init_phi(){
    int n=maxn-1; tot=0;  phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(vis[i]==0) { prime[++tot]=i; phi[i]=i-1;  }
        for(int j=1;j<=tot && i*prime[j]<=n;j++){
            vis[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0){
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
                break;
            }phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
        }
    }
}
int d[maxn];
ll  dd[maxn];
int mm[maxn];  // 最小因子相关的信息
void init_d(){
    int n=maxn-1; tot=0; d[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(vis[i]==0) {prime[++tot]=i; d[i]=2; mm[i]=2;  }
        for(int j=1;j<=tot && i*prime[j]<=n;j++){
            vis[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0){
                d[i*prime[j]]=d[i]/mm[i]*(mm[i]+1);
                mm[i*prime[j]]=mm[i]+1;
                break;
            }
            d[i*prime[j]]=d[i]*2;
            mm[i*prime[j]]=2;
        }
    }
}
// ((x+1)*x+1)*x+1; // 转换成多项式 类似hash
void init_dd(){
    int n=maxn-1; tot=0; dd[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(vis[i]==0) { prime[++tot]=i; dd[i]=i+1; mm[i]=i+1;  }
        for(int j=1;j<=tot && i*prime[j]<=n;j++){
            vis[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0){
                mm[i*prime[j]]=mm[i]*prime[j]+1;
                dd[i*prime[j]]=dd[i]/mm[i]*mm[i*prime[j]]  ;
                break;
            }
            dd[i*prime[j]]=dd[i]*dd[prime[j]];
            mm[i*prime[j]]=1+prime[j];
        }
    }
}
int main(){
    init_e();init_I();init_ID();
    init_mu();init_phi();init_d();init_dd();
}

 对于莫比乌斯函数 和 欧拉函数  小于 1e8差不多都可线筛    1e12以内  杜教筛  

代码针对洛古  p4213  n<=(1<<31)-1  杜教筛

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=5e6+10;
bool vis[maxn];
int prime[maxn/7];
int phi[maxn];
int mu[maxn];
int tot=0;
ll sum_phi[maxn];
int  sum_mu[maxn];
void get_mu_phi(){
    int n=maxn-1;
    mu[1]=1;
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(vis[i]==0) { prime[++tot]=i; phi[i]=i-1; mu[i]=-1; }
        for(int j=1;j<=tot && i*prime[j]<=n;j++){
            vis[i*prime[j]]=1;

            if(i%prime[j]==0){
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
                break;
            }
            mu[i*prime[j]]=-mu[i];
            phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) sum_mu[i]=sum_mu[i-1]+mu[i];
    for(int i=1;i<=n;i++) sum_phi[i]=sum_phi[i-1]+phi[i];
}
unordered_map<int,int> mp_mu;
int get_mu(int n){
   if(n<maxn) { return sum_mu[n]; }
   ll ans=0;
   for(int l=2,r;l<=n;l=r+1){
      r=n/(n/l); int d=(n/l);
      if(d<maxn) {  ans+=(r-l+1)*sum_mu[d]; }
      else           {  if(mp_mu.find(d)==mp_mu.end()) mp_mu[d]=get_mu(d); ans+=(r-l+1)*mp_mu[d]; }
      if(r==2147483647) break;
   }
   return mp_mu[n]=1-ans;
}
unordered_map<int,ll> mp_phi;
ll get_phi(int n){
   if(n<maxn) { return sum_phi[n]; }
   ll ans=0;
   for(int l=2,r;l<=n;l=r+1){
      r=n/(n/l); int d=(n/l);
      if(d<maxn) {  ans+=(r-l+1)*sum_phi[d]; }
      else           {  if(mp_phi.find(d)==mp_phi.end()) mp_phi[d]=get_phi(d); ans+=(r-l+1)*mp_phi[d]; }
      if(r==2147483647) break;
   }
   return mp_phi[n]=1ll*n*(n+1)/2-ans;
}
void work(int n){
    ll x=get_phi(n);
    int y=get_mu(n);
    printf("%lld %d
",x,y);
}
int main(){
    get_mu_phi(); int T; scanf("%d",&T); while(T--){  int n; scanf("%d",&n); work(n); }
}

因子和函数前缀和    线筛 (求多个的时候效果突出),杜教都不咋地  整除分块才是王道

LightOJ - 1098  整除分块代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll  long long
using namespace std;
int main(){
    int T; scanf("%d",&T); int tot=0;
    while(T--){
        ll n; scanf("%lld",&n);
        ll ans=0;
        for(ll l=1,r;l<=n;l=r+1){
            r=n/(n/l);
            ans+=1ll*(l+r)*(r-l+1)/2*(n/l);
        }
        //cout<<ans<<endl;
        //cout<<1ll*n*(n+1)/2<<endl;
        ans++;
        ans-=n;
        ans-=1ll*n*(n+1)/2;
        if(n==0) ans=0;
        printf("Case %d: %lld
",++tot,ans);
    }
}

 杜教推出来而是那个分块的........  通过  I (恒等函数)   id(  单位函数  )  = σ (因子和函数) 

写个线筛的吧(自己写的  没过过题 随机暴力测了一些样例 过了)

#include<bits/stdc++.h>
#define ll  long long
using namespace std;
const int maxn=5e6+10;
int vis[maxn];
int num[maxn];
int prime[maxn/7];
int sigma[maxn]; // yin zi he han shu
int tot=0;
int pow(int x,int n){
    int ans=1;
    while(n){
        if(n&1) ans=ans*x;
        x=x*x;
        n=n/2;
    }
    return ans;
}
void inint(){
    int n=maxn-1;
    vis[1]=1;
    sigma[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
          //  cout<<i<<endl;
        if(vis[i]==0) {
            prime[++tot]=i; vis[i]=i; num[i]=1; sigma[i]=i+1;
        }
        for(int j=1;j<=tot&&i*prime[j]<=n;j++){
            vis[i*prime[j]]=prime[j];
            if(i%prime[j]==0){
                num[i*prime[j]]=num[i]+1;;
                sigma[i*prime[j]]=sigma[i]*(1-pow(vis[i],num[i]+1+1)) / (1-pow(vis[i],num[i]+1));
                break;
            }else {
                num[i*prime[j]]=1;
                sigma[i*prime[j]]=sigma[i]*(1+prime[j]);
            }
        }
    }
}
int main(){  //cout<<pow(2,5)<<endl;
    inint();  //cout<<sigma[4]<<endl;
    int tot=0;
while(1){
    int n; cin>>n;
    cout<<sigma[n]<<endl;
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(n%i==0) ans+=i;
    }
    cout<<ans<<endl;
}
}

hdu 5608  莫比乌斯反演+杜教筛

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=5e6+10;
const int mod=1e9+7;
const int inv2=500000004;
const int inv4=250000002;
const int inv6=166666668;
bool vis[maxn];
int prime[maxn/7];
int mu[maxn];
int tot=0;
int  sum_mu[maxn];
void get_mu_phi(){
    int n=maxn-1;
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(vis[i]==0) { prime[++tot]=i;  mu[i]=-1; }
        for(int j=1;j<=tot && i*prime[j]<=n;j++){
            vis[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0){
                break;
            }
            mu[i*prime[j]]=-mu[i];
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) sum_mu[i]=sum_mu[i-1]+mu[i];
}
unordered_map<ll,ll> mp_mu;
ll get_mu(ll n){
   if(n<maxn) { return sum_mu[n]; }
   ll ans=0;
   for(int l=2,r;l<=n;l=r+1){
      r=n/(n/l);        int d=(n/l);
      if(d<maxn)     {  ans+=1ll*(r-l+1)*sum_mu[d]%mod; }
      else           {  if(mp_mu.find(d)==mp_mu.end()) mp_mu[d]=get_mu(d); ans+=1ll*(r-l+1)*mp_mu[d]%mod; }
   }
   return mp_mu[n]=(1-ans)%mod;
}
int add(int x){
    int ans=1ll*x*(x+1)%mod*(2*x+1)%mod*inv6%mod;
    ans-=1ll*3*(x+1)%mod*x%mod*inv2%mod; ans=ans%mod;
    ans+=1ll*2*x%mod; ans=ans%mod;
    return ans;
}
int make(int l,int r){  return ( add(r)-add(l-1) )%mod; }
void work(int n){
    ll ans=0;
    for(int l=1,r;l<=n;l=r+1){
        r=n/(n/l);  int d=n/l;
        if(d<maxn){
            ans+=1ll*make(l,r)*sum_mu[d]%mod;
        }else {
            if(mp_mu.find(d)==mp_mu.end()) mp_mu[d]=get_mu(d);
            ans+=1ll*make(l,r)*mp_mu[d]%mod;
        }
    }
    printf("%lld
",(ans%mod+mod)%mod);
}
int main(){
    get_mu_phi();
    int T; scanf("%d",&T);
    while(T--){
        int n; scanf("%d",&n); work(n);
    }
}

 https://blog.csdn.net/v5zsq/article/details/52116285   大神的写法 (学不来)  

 https://www.cnblogs.com/acjiumeng/p/9739793.html  学不来的写法