0-1背包问题复习

准备面试，通过做POJ上的题，复习算法知识，做POJ 3624复习了背包相关知识。

看背包九讲时有些实现细节不是很懂，于是就从最直接的实现开始实现0-1背包的动态规划算法，再逐渐写出优化后的解法。
状态转移方程便是：
f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}

直接写出两层循环下的代码，N代表物品的数量，M表示最大背包能放下的最大容积，w[i]表示第i个物品的重量，d[i]表示第i个物品的价值。a[i][j]表示前i个物品放入容量为 j 的背包中获得的最大收益。

for (int i = 1; i <= N ; i ++) {
 for (int j = 0; j <= M ; j ++) {
  if (j - w [i ] >= 0) {
      a[i][j] = Math.max(a[i-1][j],a[i-1][j-w [i]] + d[i]);
   } else{
      a[i][j] = a[i-1][j];
       }
    }
 }

再写出空间优化后的代码，也就是内层循环倒写的写法，f[j]相当于之前的f[i][j]

for (int i = 1; i <= N; i++) {
     for (int j = M; j >= 0; j--) {
    if (j - w[i] >= 0) {
        f[j] = Math.max(f[j], f[j - w[i]] + d[i]);
    }
}

对比两个写法，有几点需要注意：

1. 第一个写法中的内层循环可以递增也可以递减，第二个则必须递减，递减写法保证第i次循环结束后f[v]中表示的就是我们定义的状态f[i][v]，f[i][v]是由f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]两个子问题递推而来，j的值递减保证在推f[i][v]时（也即在第i次主循环中推f[v]时）能够得到f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]的值
2. 第一个写法要加else，第二个不用加else。第二个写法中如果if不成立，f[j]不变，相当于第一个写法中将a[i][j] = a[i-1][j]。
3. 第一个中的i值必须从1开始，第二个的i值则不要求。

package PackProblem;

import java.util.Scanner;

/**
 * O-1背包，数组长度有误，要开到14000才AC.
 * 5412K,2532MS
 * @author DaiSong
 * @Date 2014年3月2日
 */
public class Poj_3624 {

    static int f[] = new int[15000];

    public static int ZeroOnePack(int d[], int w[], int n, int m) {

         for(int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = m; j >= 0; j--) {
                if (j - w[i] >= 0) {
                    f[j] = Math.max(f[j], f[j - w[i]] + d[i]);
                }
            }
            for (int j = 0; j <= m; j++) {
                System.out.print(f[j] + " ");
            }
            System.out.println();
        }
        return f[m];
    }

    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n, m;
        int d[] = new int[15000];
        int w[] = new int[15000];
        n = sc.nextInt();
        m = sc.nextInt();
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            w[i] = sc.nextInt();
            d[i] = sc.nextInt();
        }
        System.out.println(ZeroOnePack(d, w, n, m));
    }
}

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