（算法）堆与堆排序

主要内容：

1、什么是堆？

2、如何建堆

3、堆排序

4、参考代码

一、什么是堆？

“堆”是个很有趣的数据结构，是个完全二叉树。

“堆”的特性：每个节点的键值一定总是大于（或小于）它的父节点（大于：称为“最大堆”，小于：称为“最小堆”），或者说每个节点总是大于或小于它的子节点。

对于最大堆而言，根节点为最大值；对于最小堆而言，根节点为最小值。

通常“堆”是通过数组来实现的，这样可以利用数组的特点快速定位指定索引的元素。

因此，当我们得知某个节点的索引为 i 时，可以通过以下“堆”的定义很容易地定位到它的子节点和父节点。

在起始索引为 0 的“堆”中： 
1) 堆的根节点将存放在位置 0 
2) 节点 i 的左子节点在位置 2 * i + 1 
3) 节点 i 的右子节点在位置 2 * i + 2 
4) 节点 i 的父节点在位置 floor( (i - 1) / 2 )   : 注 floor 表示“取整”操作 

在起始索引为 1 的“堆”中： 
1) 堆的根节点将存放在位置 1 
2) 节点 i 的左子节点在位置 2 * i 
3) 节点 i 的右子节点在位置 2 * i + 1 
4) 节点 i 的父节点在位置 floor( i / 2 )           : 注 floor 表示“取整”操作 

二、如何建堆？

根据上述对于堆的定义，建立一个堆，首先需要构建一棵完全二叉树，树的节点需要满足：每个节点的值都不大于或不小于其父节点的值，即A[PARENT[i]] >=/<= A[i]。

给定一个无序数组，如何构建一个最大堆呢？

首先，将该无序数组构建为一棵完全二叉树，然后根据每个节点需要满足的条件，进行二叉树的调整。

建立一个最大堆，而建堆的核心内容是调整堆，使二叉树满足堆的定义（每个节点的值都不大于其父节点的值）。

调堆的过程应该从最后一个非叶子节点（最后一个节点的父节点）开始，假设有数组A = {1, 3, 4, 5, 7, 2, 6, 8, 0}。

那么调堆的过程如下图，数组下标从0开始，A[3] = 5开始，分别与左孩子和右孩子比较大小，如果A[3]最大，则不用调整，否则和孩子中的值最大的一个交换位置，在图1中是A[7] > A[3] > A[8]，所以A[3]与A[7]对换，从图1.1转到图1.2。

​

所以建堆的过程就是

   for ( i = headLen/2-1; i >= 0; i++)
​      do AdjustHeap(A, heapLen, i)

调堆：

如果初始数组是非降序排序，那么就不需要调堆，直接就满足堆的定义，此为最好情况，运行时间为Θ(1)；

如果初始数组是如图1.5，只有A[0] = 1不满足堆的定义，经过与子节点的比较调整到图1.6，但是图1.6仍然不满足堆的定义，所以要递归调整，一直到满足堆的定义或者到堆底为止。

如果递归调堆到堆底才结束，那么是最坏情况，运行时间为O(h) (h为需要调整的节点的高度，堆底高度为0，堆顶高度为floor(logn) )。

调堆的时间复杂度：O（logn）

建堆的时间复杂度：O（n）

关于时间复杂度的分析：参考http://www.cnblogs.com/zabery/archive/2011/07/26/2117103.html

三、如何进行堆排序？

根据“堆”的特性，我们可以从无序序列的最后一个节点的父节点开始，对其进行“下移”操作，直到序列的第一个节点为止。这样就可以保证每个节点都在合适的位置上，也就建立起了一个“堆”。 
但是“堆”并不是一个完全排序的序列，因为“堆”只保证了父节点与子节点的位置关系，但并不保证左右子节点的位置关系。那么我们如何进行“堆排序”呢？ 

由于一个“堆”的根节点必然是整个序列中最大的元素，因此对于一个排序的序列而言，每个“堆”中我们只能得到一个有效的元素。如果我们拿掉根节点，再对剩下的序列重新排列组成一个“堆”，反复如此，我们就可以依次得到一个完整的排序序列了。 
当然，为了简化操作，每次我们只需要把根节点与最后一个位置的节点交换，然后把最后一个位置排除之外，对根节点进行“下移”操作即可。

堆排序的时间复杂度：O(nlogn)

关于时间复杂度的分析：参考http://www.cnblogs.com/zabery/archive/2011/07/26/2117103.html

建堆完成之后，堆如图1.7是个大根堆。

将A[0] = 8 与 A[heapLen-1]交换,然后heapLen减一，如图2.1，然后AdjustHeap(A, heapLen-1, 0)，如图2.2。如此交换堆的第一个元素和堆的最后一个元素，然后堆的大小heapLen减一，对堆的大小为heapLen的堆进行调堆，如此循环，直到heapLen == 1时停止，最后得出结果如图3。

四、代码

#include <iostream>

using namespace std;

int leftChild(int i){
    return 2*i+1;
}

int rightChild(int i){
    return 2*i+2;
}

// adjust heap
void makeMaxheap(int *A,int len,int i){
    int left=leftChild(i);
    int right=rightChild(i);
    int largest=i;
    int tmp;

    while(left<len || right<len){
        if(left<len && A[largest]<A[left])
            largest=left;
        if(right<len && A[largest]<A[right])
            largest=right;
        if(largest!=i){
            tmp=A[largest];
            A[largest]=A[i];
            A[i]=tmp;

            i=largest;
            left=leftChild(i);
            right=rightChild(i);
        }
        else
            break;
    }
}

void makeMinheap(int *A,int len,int i){
    int left=leftChild(i);
    int right=rightChild(i);
    int smallest=i;
    int tmp;

    while(left<len || right<len){
        if(left<len && A[smallest]>A[left])
            smallest=left;
        if(right<len && A[smallest]>A[right])
            smallest=right;
        if(smallest!=i){
            tmp=A[smallest];
            A[smallest]=A[i];
            A[i]=tmp;

            i=smallest;
            left=leftChild(i);
            right=rightChild(i);
        }
        else
            break;
    }
}

// build heap
void buildMaxHeap(int* A,int len){
    int begin=len/2-1;
    for(int i=begin;i>=0;i--)
        makeMaxheap(A,len,i);
}

void buildMinHeap(int* A,int len){
    int begin=len/2-1;
    for(int i=begin;i>=0;i--)
        makeMinheap(A,len,i);
}

// heap sort
void heapMaxSort(int* A,int len){
    int hlen=len;
    int tmp;

    buildMaxHeap(A,hlen);

    while(hlen>0){
        tmp=A[hlen-1];
        A[hlen-1]=A[0];
        A[0]=tmp;
        hlen--;
        makeMaxheap(A,hlen,0);
    }
}

void heapMinSort(int* A,int len){
    int hlen=len;
    int tmp;

    buildMinHeap(A,hlen);

    while(hlen>0){
        tmp=A[hlen-1];
        A[hlen-1]=A[0];
        A[0]=tmp;
        hlen--;
        makeMinheap(A,hlen,0);
    }
}
int main()
{
    int A[]={1,3,4,5,7,2,6,8,0};
    int len=sizeof(A)/sizeof(A[0]);

    buildMaxHeap(A,len);
    for(int i=0;i<len;i++)
        cout<<A[i]<<" ";
    cout<<endl;

    int B[]={1,3,4,5,7,2,6,8,0};
    buildMinHeap(B,len);
    for(int i=0;i<len;i++)
        cout<<B[i]<<" ";
    cout<<endl;

    heapMaxSort(A,len);
    for(int i=0;i<len;i++)
        cout<<A[i]<<" ";
    cout<<endl;

    heapMinSort(B,len);
    for(int i=0;i<len;i++)
        cout<<B[i]<<" ";
    cout<<endl;
    return 0;
}

五、参考文章

http://www.cnblogs.com/zabery/archive/2011/07/26/2117103.html

http://wxg6203.iteye.com/blog/668968